Страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Решите уравнение:

160 a) $x^2 - 144 = 0;$

б) $100 - 81x^2 = 0;$

в) $196 - y^2 = 0;$

г) $225y^2 - 64 = 0.$

а) $x^2 - 144 = 0$

Данное уравнение является неполным квадратным уравнением. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 144$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня — положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{144}$

$x = \pm12$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = 12$ и $x_2 = -12$.

Ответ: $-12; 12$

б) $100 - 81x^2 = 0$

Это уравнение удобно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим $100$ как $10^2$ и $81x^2$ как $(9x)^2$:

$10^2 - (9x)^2 = 0$

Применим формулу:

$(10 - 9x)(10 + 9x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Получаем два линейных уравнения:

1) $10 - 9x = 0 \implies 9x = 10 \implies x_1 = \frac{10}{9}$

2) $10 + 9x = 0 \implies 9x = -10 \implies x_2 = -\frac{10}{9}$

Ответ: $-\frac{10}{9}; \frac{10}{9}$

в) $196 - y^2 = 0$

Аналогично пункту а), решим это уравнение, isolating a variable. Перенесем $y^2$ в правую часть, чтобы получить положительный коэффициент:

$196 = y^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$y = \pm\sqrt{196}$

Так как $14^2 = 196$, получаем два корня:

$y_1 = 14$ и $y_2 = -14$

Ответ: $-14; 14$

г) $225y^2 - 64 = 0$

Воспользуемся снова формулой разности квадратов. Представим члены уравнения в виде квадратов: $225y^2 = (15y)^2$ и $64 = 8^2$.

$(15y)^2 - 8^2 = 0$

Разложим на множители:

$(15y - 8)(15y + 8) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $15y - 8 = 0 \implies 15y = 8 \implies y_1 = \frac{8}{15}$

2) $15y + 8 = 0 \implies 15y = -8 \implies y_2 = -\frac{8}{15}$

Ответ: $-\frac{8}{15}; \frac{8}{15}$

161 а) $x^3 - 36x = 0;$

б) $12x^5 - 3x^3 = 0;$

в) $49x^3 - x = 0;$

г) $2x^4 - 32x^2 = 0.$

а)

Решим уравнение $x^3 - 36x = 0$.

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 36) = 0$

Выражение в скобках $x^2 - 36$ является разностью квадратов. Разложим его на множители, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x(x - 6)(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три возможных случая:
$x_1 = 0$
$x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6$
$x + 6 = 0 \Rightarrow x_3 = -6$

Ответ: $-6; 0; 6$.

б)

Решим уравнение $12x^5 - 3x^3 = 0$.

Вынесем за скобки общий множитель $3x^3$:

$3x^3(4x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках $4x^2 - 1$ также является разностью квадратов, поскольку $4x^2 = (2x)^2$. Применим формулу разности квадратов:

$3x^3(2x - 1)(2x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$3x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}$
$2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x_3 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2}$.

в)

Решим уравнение $49x^3 - x = 0$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(49x^2 - 1) = 0$

Выражение $49x^2 - 1$ является разностью квадратов, так как $49x^2 = (7x)^2$. Разложим его на множители:

$x(7x - 1)(7x + 1) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x_1 = 0$
$7x - 1 = 0 \Rightarrow 7x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{7}$
$7x + 1 = 0 \Rightarrow 7x = -1 \Rightarrow x_3 = -\frac{1}{7}$

Ответ: $-\frac{1}{7}; 0; \frac{1}{7}$.

г)

Решим уравнение $2x^4 - 32x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $2x^2$ за скобки:

$2x^2(x^2 - 16) = 0$

Выражение $x^2 - 16$ является разностью квадратов, так как $16 = 4^2$. Разложим его на множители:

$2x^2(x - 4)(x + 4) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:
$2x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
$x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$
$x + 4 = 0 \Rightarrow x_3 = -4$

Ответ: $-4; 0; 4$.

162 а) $y^2 - 6y + 9 = 0;$

б) $4t^2 + 28t + 49 = 0;$

В) $49 + 14x + x^2 = 0;$

Г) $36z^2 - 12z + 1 = 0.$

а) Дано уравнение $y^2 - 6y + 9 = 0$.
Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = y$, а $b = 3$. Проверим, сходится ли удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot y \cdot 3 = 6y$.
Следовательно, уравнение можно свернуть в следующий вид:
$(y - 3)^2 = 0$
Если квадрат выражения равен нулю, то и само выражение равно нулю:
$y - 3 = 0$
$y = 3$
Ответ: $y = 3$.

б) Дано уравнение $4t^2 + 28t + 49 = 0$.
Левая часть этого уравнения является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a^2 = 4t^2$, поэтому $a = 2t$. $b^2 = 49$, поэтому $b = 7$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot (2t) \cdot 7 = 28t$.
Следовательно, уравнение можно свернуть в следующий вид:
$(2t + 7)^2 = 0$
Если квадрат выражения равен нулю, то и само выражение равно нулю:
$2t + 7 = 0$
$2t = -7$
$t = -\frac{7}{2} = -3.5$
Ответ: $t = -3.5$.

в) Дано уравнение $49 + 14x + x^2 = 0$.
Для удобства перепишем уравнение в стандартном виде: $x^2 + 14x + 49 = 0$.
Левая часть этого уравнения является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = x$, а $b = 7$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot 7 = 14x$.
Следовательно, уравнение можно свернуть в следующий вид:
$(x + 7)^2 = 0$
Если квадрат выражения равен нулю, то и само выражение равно нулю:
$x + 7 = 0$
$x = -7$
Ответ: $x = -7$.

г) Дано уравнение $36z^2 - 12z + 1 = 0$.
Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a^2 = 36z^2$, поэтому $a = 6z$. $b^2 = 1$, поэтому $b = 1$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot (6z) \cdot 1 = 12z$.
Следовательно, уравнение можно свернуть в следующий вид:
$(6z - 1)^2 = 0$
Если квадрат выражения равен нулю, то и само выражение равно нулю:
$6z - 1 = 0$
$6z = 1$
$z = \frac{1}{6}$
Ответ: $z = \frac{1}{6}$.

163 a) $x^3 + 16x^2 + 64x = 0;$

Б) $8y^4 - 40y^3 + 50y^2 = 0;$

В) $81x^4 - 18x^3 + x^2 = 0;$

Г) $27t^3 + 36t^2 + 12t = 0.$

а) $x^3 + 16x^2 + 64x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 16x + 64) = 0$

Выражение в скобках, $x^2 + 16x + 64$, представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=8$, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 + 16x + 64$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$x(x+8)^2 = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x = 0$

2) $(x+8)^2 = 0 \Rightarrow x+8 = 0 \Rightarrow x = -8$

Уравнение имеет два корня: 0 и -8.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -8$.

б) $8y^4 - 40y^3 + 50y^2 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2y^2$:

$2y^2(4y^2 - 20y + 25) = 0$

Выражение в скобках, $4y^2 - 20y + 25$, является полным квадратом разности. Применим формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=2y$ и $b=5$, так как $(2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 5 + 5^2 = 4y^2 - 20y + 25$.

Перепишем уравнение:

$2y^2(2y-5)^2 = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $2y^2 = 0 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0$

2) $(2y-5)^2 = 0 \Rightarrow 2y-5 = 0 \Rightarrow 2y = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{2} = 2.5$

Уравнение имеет два корня: 0 и 2.5.

Ответ: $y_1 = 0, y_2 = 2.5$.

в) $81x^4 - 18x^3 + x^2 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(81x^2 - 18x + 1) = 0$

Выражение в скобках, $81x^2 - 18x + 1$, является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=9x$ и $b=1$, поскольку $(9x)^2 - 2 \cdot (9x) \cdot 1 + 1^2 = 81x^2 - 18x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$x^2(9x-1)^2 = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $(9x-1)^2 = 0 \Rightarrow 9x-1 = 0 \Rightarrow 9x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$

Уравнение имеет два корня: 0 и $\frac{1}{9}$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{9}$.

г) $27t^3 + 36t^2 + 12t = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $3t$:

$3t(9t^2 + 12t + 4) = 0$

Выражение в скобках, $9t^2 + 12t + 4$, является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=3t$ и $b=2$, так как $(3t)^2 + 2 \cdot (3t) \cdot 2 + 2^2 = 9t^2 + 12t + 4$.

Перепишем уравнение в виде:

$3t(3t+2)^2 = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $3t = 0 \Rightarrow t = 0$

2) $(3t+2)^2 = 0 \Rightarrow 3t+2 = 0 \Rightarrow 3t = -2 \Rightarrow t = -\frac{2}{3}$

Уравнение имеет два корня: 0 и $-\frac{2}{3}$.

Ответ: $t_1 = 0, t_2 = -\frac{2}{3}$.

164 а) $x^4 - 81 = 0;$

б) $256x^5 - x = 0;$

в) $x^8 - 256 = 0;$

г) $625x^6 - x^2 = 0.$

а) $x^4 - 81 = 0$

Это биквадратное уравнение. Перенесем 81 в правую часть:

$x^4 = 81$

Представим левую часть как $(x^2)^2$, а правую как $9^2$.

$(x^2)^2 = 9^2$

Отсюда следует, что $x^2$ может быть равен $9$ или $-9$.

1) $x^2 = 9$

Из этого уравнения находим два корня:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

2) $x^2 = -9$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Другой способ решения — использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$

$x^2 + 9 = 0 \implies x^2 = -9$ (нет действительных корней)

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3$.

б) $256x^5 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(256x^4 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $256x^4 - 1 = 0$

$256x^4 = 1$

$x^4 = \frac{1}{256}$

Извлечем корень четвертой степени. Так как степень четная, получаем два действительных корня:

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{256}}$

Поскольку $4^4 = 256$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.

$x_2 = \frac{1}{4}, x_3 = -\frac{1}{4}$

Таким образом, уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{4}, x_3 = -\frac{1}{4}$.

в) $x^8 - 256 = 0$

Перенесем 256 в правую часть:

$x^8 = 256$

Можно представить $256$ как $2^8$.

$x^8 = 2^8$

Так как степень четная, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = 2, x_2 = -2$

Также можно решить это уравнение, последовательно применяя формулу разности квадратов:

$x^8 - 256 = (x^4)^2 - 16^2 = (x^4 - 16)(x^4 + 16) = 0$

Множитель $x^4 + 16$ всегда положителен для любого действительного $x$, поэтому $x^4 + 16 \neq 0$.

Следовательно, $x^4 - 16 = 0$.

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$

Множитель $x^2 + 4$ всегда положителен, значит $x^2 + 4 \neq 0$.

Остается $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

г) $625x^6 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(625x^4 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

2) $625x^4 - 1 = 0$

$625x^4 = 1$

$x^4 = \frac{1}{625}$

Извлечем корень четвертой степени. Поскольку $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{625}}$

$x_2 = \frac{1}{5}, x_3 = -\frac{1}{5}$

Уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{5}, x_3 = -\frac{1}{5}$.

165 a) $(x - 1)^2 - 9 = 0;$

Б) $81 - (y + 1)^2 = 0;$

В) $(x + 2)^2 - 36 = 0;$

Г) $100 - (y - 7)^2 = 0.$

а) Дано уравнение $(x - 1)^2 - 9 = 0$.
Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим $9$ как $3^2$: $(x - 1)^2 - 3^2 = 0$.
Здесь $a = x - 1$ и $b = 3$. Применим формулу:
$((x - 1) - 3)((x - 1) + 3) = 0$.
Упростим выражения в скобках:
$(x - 4)(x + 2) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому у нас есть два случая:
1) $x - 4 = 0$, откуда $x_1 = 4$.
2) $x + 2 = 0$, откуда $x_2 = -2$.
Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -2$.

б) Дано уравнение $81 - (y + 1)^2 = 0$.
Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим $81$ как $9^2$: $9^2 - (y + 1)^2 = 0$.
Здесь $a = 9$ и $b = y + 1$. Применим формулу:
$(9 - (y + 1))(9 + (y + 1)) = 0$.
Раскроем внутренние скобки:
$(9 - y - 1)(9 + y + 1) = 0$.
Упростим выражения в скобках:
$(8 - y)(10 + y) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $8 - y = 0$, откуда $y_1 = 8$.
2) $10 + y = 0$, откуда $y_2 = -10$.
Ответ: $y_1 = 8, y_2 = -10$.

в) Дано уравнение $(x + 2)^2 - 36 = 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, представив $36$ как $6^2$.
$(x + 2)^2 - 6^2 = 0$.
В этом случае $a = x + 2$ и $b = 6$.
$((x + 2) - 6)((x + 2) + 6) = 0$.
Упростим выражения в скобках:
$(x - 4)(x + 8) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:
1) $x - 4 = 0$, откуда $x_1 = 4$.
2) $x + 8 = 0$, откуда $x_2 = -8$.
Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -8$.

г) Дано уравнение $100 - (y - 7)^2 = 0$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим $100$ как $10^2$: $10^2 - (y - 7)^2 = 0$.
Здесь $a = 10$ и $b = y - 7$.
$(10 - (y - 7))(10 + (y - 7)) = 0$.
Раскроем внутренние скобки:
$(10 - y + 7)(10 + y - 7) = 0$.
Упростим выражения в скобках:
$(17 - y)(3 + y) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1) $17 - y = 0$, откуда $y_1 = 17$.
2) $3 + y = 0$, откуда $y_2 = -3$.
Ответ: $y_1 = 17, y_2 = -3$.

166 a) $(x + 3)^2 - 4x^2 = 0;$

б) $16x^2 - (x - 5)^2 = 0;$

В) $(x - 2)^2 - 9x^2 = 0;$

Г) $25x^2 - (x + 4)^2 = 0.$

а) Для решения уравнения $(x + 3)^2 - 4x^2 = 0$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Представим $4x^2$ в виде $(2x)^2$. Получим: $(x + 3)^2 - (2x)^2 = 0$. Разложим левую часть на множители: $((x + 3) - 2x)((x + 3) + 2x) = 0$. Упростим выражения в скобках: $(3 - x)(3x + 3) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения: $3 - x = 0$, что дает $x_1 = 3$, и $3x + 3 = 0$, что дает $3x = -3$, и, следовательно, $x_2 = -1$.
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

б) Решим уравнение $16x^2 - (x - 5)^2 = 0$, используя формулу разности квадратов. Представим $16x^2$ как $(4x)^2$. Уравнение примет вид: $(4x)^2 - (x - 5)^2 = 0$. Разложим на множители: $(4x - (x - 5))(4x + (x - 5)) = 0$. Упростим, раскрыв скобки: $(4x - x + 5)(4x + x - 5) = 0$, что дает $(3x + 5)(5x - 5) = 0$. Приравняем каждый множитель к нулю: $3x + 5 = 0$, откуда $3x = -5$ и $x_1 = -5/3$; и $5x - 5 = 0$, откуда $5x = 5$ и $x_2 = 1$.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -5/3$.

в) Для уравнения $(x - 2)^2 - 9x^2 = 0$ применим формулу разности квадратов. Представим $9x^2$ как $(3x)^2$. Получаем: $(x - 2)^2 - (3x)^2 = 0$. Разложение на множители дает: $((x - 2) - 3x)((x - 2) + 3x) = 0$. После упрощения выражений в скобках имеем: $(-2x - 2)(4x - 2) = 0$. Теперь решим два простых уравнения: $-2x - 2 = 0$, откуда $-2x = 2$ и $x_1 = -1$; и $4x - 2 = 0$, откуда $4x = 2$ и $x_2 = 2/4 = 1/2$.
Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 1/2$.

г) Решим уравнение $25x^2 - (x + 4)^2 = 0$ с помощью формулы разности квадратов. Запишем $25x^2$ как $(5x)^2$. Уравнение становится: $(5x)^2 - (x + 4)^2 = 0$. Разложим на множители: $(5x - (x + 4))(5x + (x + 4)) = 0$. Упростим, раскрыв внутренние скобки: $(5x - x - 4)(5x + x + 4) = 0$, что приводит к $(4x - 4)(6x + 4) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни: $4x - 4 = 0$, откуда $4x = 4$ и $x_1 = 1$; и $6x + 4 = 0$, откуда $6x = -4$ и $x_2 = -4/6 = -2/3$.
Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -2/3$.

167 a) $x^2 + 3x + 2 = 0;$

Б) $x^2 - 4x - 5 = 0;$

В) $x^2 - 7x + 12 = 0;$

Г) $x^2 + 5x - 6 = 0.$

а) Решим квадратное уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=3$, $c=2$. Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант.
Сначала вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -1$.

б) Решим квадратное уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$. Коэффициенты данного уравнения: $a=1$, $b=-4$, $c=-5$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6}{2}$.
$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 5$.

в) Решим квадратное уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=-7$, $c=12$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}$.
$x_1 = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 4$.

г) Решим квадратное уравнение $x^2 + 5x - 6 = 0$. Коэффициенты: $a=1$, $b=5$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2}$.
$x_1 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.
$x_2 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: $x_1 = -6, x_2 = 1$.

Докажите тождество:

168 а) $\frac{a^3 - 64}{a - 4} + 4a = (a + 4)^2;$

б) $(3b - 1)(3b + 1) - \frac{27b^3 + 1}{3b + 1} = 3b;$

В) $\frac{c^3 + 125}{c + 5} - 5c = (c - 5)^2;$

Г) $\frac{8d^3 - 27}{2d - 3} - (2d + 3)^2 = -6d.$

а) $\frac{a^3 - 64}{a - 4} + 4a = (a + 4)^2$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Преобразование левой части:

В числителе дроби используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.

$a^3 - 64 = a^3 - 4^3 = (a - 4)(a^2 + a \cdot 4 + 4^2) = (a - 4)(a^2 + 4a + 16)$.

Подставим полученное выражение в левую часть равенства:

$\frac{(a - 4)(a^2 + 4a + 16)}{a - 4} + 4a$

Сократим дробь на $(a-4)$, при условии, что $a \neq 4$:

$(a^2 + 4a + 16) + 4a = a^2 + 8a + 16$.

Преобразование правой части:

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a + 4)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 + 8a + 16$.

Поскольку после преобразований левая часть ($a^2 + 8a + 16$) равна правой части ($a^2 + 8a + 16$), тождество доказано.

Ответ: $a^2 + 8a + 16 = a^2 + 8a + 16$, тождество доказано.

б) $(3b - 1)(3b + 1) - \frac{27b^3 + 1}{3b + 1} = 3b$

Преобразуем левую часть равенства. Для первого слагаемого используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, а для числителя дроби — формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Первое слагаемое: $(3b - 1)(3b + 1) = (3b)^2 - 1^2 = 9b^2 - 1$.

Числитель дроби: $27b^3 + 1 = (3b)^3 + 1^3 = (3b + 1)((3b)^2 - 3b \cdot 1 + 1^2) = (3b + 1)(9b^2 - 3b + 1)$.

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$(9b^2 - 1) - \frac{(3b + 1)(9b^2 - 3b + 1)}{3b + 1}$

Сократим дробь на $(3b + 1)$, при условии, что $b \neq -1/3$:

$(9b^2 - 1) - (9b^2 - 3b + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$9b^2 - 1 - 9b^2 + 3b - 1 = (9b^2 - 9b^2) + 3b + (-1 - 1) = 3b - 2$.

В результате упрощения левая часть равна $3b - 2$, а правая часть равна $3b$. Так как $3b - 2 \neq 3b$, данное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: $3b - 2 \neq 3b$, исходное равенство не является тождеством.

в) $\frac{c^3 + 125}{c + 5} - 5c = (c - 5)^2$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части.

Преобразование левой части:

В числителе дроби используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

$c^3 + 125 = c^3 + 5^3 = (c + 5)(c^2 - c \cdot 5 + 5^2) = (c + 5)(c^2 - 5c + 25)$.

Подставим в левую часть:

$\frac{(c + 5)(c^2 - 5c + 25)}{c + 5} - 5c$

Сократим дробь на $(c+5)$, при условии, что $c \neq -5$:

$(c^2 - 5c + 25) - 5c = c^2 - 10c + 25$.

Преобразование правой части:

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(c - 5)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 5 + 5^2 = c^2 - 10c + 25$.

Левая часть ($c^2 - 10c + 25$) равна правой части ($c^2 - 10c + 25$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: $c^2 - 10c + 25 = c^2 - 10c + 25$, тождество доказано.

г) $\frac{8d^3 - 27}{2d - 3} - (2d + 3)^2 = -6d$

Преобразуем левую часть тождества. Для числителя дроби применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$, а для второго слагаемого — формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Числитель дроби: $8d^3 - 27 = (2d)^3 - 3^3 = (2d - 3)((2d)^2 + 2d \cdot 3 + 3^2) = (2d - 3)(4d^2 + 6d + 9)$.

Второе слагаемое: $(2d + 3)^2 = (2d)^2 + 2 \cdot 2d \cdot 3 + 3^2 = 4d^2 + 12d + 9$.

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$\frac{(2d - 3)(4d^2 + 6d + 9)}{2d - 3} - (4d^2 + 12d + 9)$

Сократим дробь на $(2d-3)$, при условии, что $d \neq 3/2$:

$(4d^2 + 6d + 9) - (4d^2 + 12d + 9)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4d^2 + 6d + 9 - 4d^2 - 12d - 9 = (4d^2 - 4d^2) + (6d - 12d) + (9 - 9) = -6d$.

Преобразованная левая часть равна $-6d$, что совпадает с правой частью тождества.

Ответ: $-6d = -6d$, тождество доказано.

169 a) $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3;$

б) $a^3 - b^3 - 3ab(a - b) = (a - b)^3.$

а) Чтобы доказать тождество $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$, преобразуем правую часть равенства, используя известную формулу сокращенного умножения для куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Раскроем скобки в выражении $(a + b)^3$:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Теперь сгруппируем слагаемые в полученном выражении. Переставим местами $b^3$ и $3a^2b$, а затем вынесем за скобки общий множитель $3ab$ у последних двух слагаемых:

$a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$

Мы видим, что полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$.

б) Чтобы доказать тождество $a^3 - b^3 - 3ab(a - b) = (a - b)^3$, преобразуем правую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Раскроем скобки в выражении $(a - b)^3$:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении. Переставим местами $-b^3$ и $-3a^2b$, а затем вынесем за скобки общий множитель $-3ab$ у слагаемых $-3a^2b$ и $3ab^2$:

$a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$

Полученное выражение совпадает с левой частью исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: $a^3 - b^3 - 3ab(a - b) = (a - b)^3$.

Вычислите, используя формулы сокращённого умножения:

170 a) $69 \cdot 71;$

б) $42 \cdot 38;$

в) $89 \cdot 91;$

г) $58 \cdot 62.$

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

а) $69 \cdot 71$

Представим множители в виде суммы и разности одного и того же числа. Среднее арифметическое для 69 и 71 равно $(69+71)/2 = 70$.

Тогда $69 = 70 - 1$, а $71 = 70 + 1$.

Применяем формулу разности квадратов:

$69 \cdot 71 = (70 - 1)(70 + 1) = 70^2 - 1^2 = 4900 - 1 = 4899$.

Ответ: 4899.

б) $42 \cdot 38$

Среднее арифметическое для 42 и 38 равно $(42+38)/2 = 40$.

Представим множители как $42 = 40 + 2$ и $38 = 40 - 2$.

Применяем формулу:

$42 \cdot 38 = (40 + 2)(40 - 2) = 40^2 - 2^2 = 1600 - 4 = 1596$.

Ответ: 1596.

в) $89 \cdot 91$

Среднее арифметическое для 89 и 91 равно $(89+91)/2 = 90$.

Представим множители как $89 = 90 - 1$ и $91 = 90 + 1$.

Применяем формулу:

$89 \cdot 91 = (90 - 1)(90 + 1) = 90^2 - 1^2 = 8100 - 1 = 8099$.

Ответ: 8099.

г) $58 \cdot 62$

Среднее арифметическое для 58 и 62 равно $(58+62)/2 = 60$.

Представим множители как $58 = 60 - 2$ и $62 = 60 + 2$.

Применяем формулу:

$58 \cdot 62 = (60 - 2)(60 + 2) = 60^2 - 2^2 = 3600 - 4 = 3596$.

Ответ: 3596.

171 а) $91^2$;

б) $59^2$;

в) $82^2$;

г) $68^2$.

а)

Для вычисления $91^2$ можно представить число 91 как сумму двух чисел, например, $90$ и $1$. Затем воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Подставим наши значения: $a = 90$ и $b = 1$.

$91^2 = (90 + 1)^2 = 90^2 + 2 \cdot 90 \cdot 1 + 1^2 = 8100 + 180 + 1 = 8281$.

Ответ: $8281$.

б)

Для вычисления $59^2$ удобно представить число 59 как разность двух чисел, например, $60$ и $1$. Затем воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим наши значения: $a = 60$ и $b = 1$.

$59^2 = (60 - 1)^2 = 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot 1 + 1^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481$.

Ответ: $3481$.

в)

Для вычисления $82^2$ представим число 82 как сумму $80$ и $2$. Снова используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Подставим наши значения: $a = 80$ и $b = 2$.

$82^2 = (80 + 2)^2 = 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 2 + 2^2 = 6400 + 320 + 4 = 6724$.

Ответ: $6724$.

г)

Для вычисления $68^2$ представим число 68 как разность $70$ и $2$. Снова используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим наши значения: $a = 70$ и $b = 2$.

$68^2 = (70 - 2)^2 = 70^2 - 2 \cdot 70 \cdot 2 + 2^2 = 4900 - 280 + 4 = 4624$.

Ответ: $4624$.