Номер 164, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 164, страница 236.

Условие.

164 а) $x^4 - 81 = 0;$

б) $256x^5 - x = 0;$

в) $x^8 - 256 = 0;$

г) $625x^6 - x^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) $x^4 - 81 = 0$

Это биквадратное уравнение. Перенесем 81 в правую часть:

$x^4 = 81$

Представим левую часть как $(x^2)^2$, а правую как $9^2$.

$(x^2)^2 = 9^2$

Отсюда следует, что $x^2$ может быть равен $9$ или $-9$.

1) $x^2 = 9$

Из этого уравнения находим два корня:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

2) $x^2 = -9$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Другой способ решения — использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^4 - 81 = (x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$

$x^2 + 9 = 0 \implies x^2 = -9$ (нет действительных корней)

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3$.

б) $256x^5 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(256x^4 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $256x^4 - 1 = 0$

$256x^4 = 1$

$x^4 = \frac{1}{256}$

Извлечем корень четвертой степени. Так как степень четная, получаем два действительных корня:

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{256}}$

Поскольку $4^4 = 256$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.

$x_2 = \frac{1}{4}, x_3 = -\frac{1}{4}$

Таким образом, уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{4}, x_3 = -\frac{1}{4}$.

в) $x^8 - 256 = 0$

Перенесем 256 в правую часть:

$x^8 = 256$

Можно представить $256$ как $2^8$.

$x^8 = 2^8$

Так как степень четная, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = 2, x_2 = -2$

Также можно решить это уравнение, последовательно применяя формулу разности квадратов:

$x^8 - 256 = (x^4)^2 - 16^2 = (x^4 - 16)(x^4 + 16) = 0$

Множитель $x^4 + 16$ всегда положителен для любого действительного $x$, поэтому $x^4 + 16 \neq 0$.

Следовательно, $x^4 - 16 = 0$.

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$

Множитель $x^2 + 4$ всегда положителен, значит $x^2 + 4 \neq 0$.

Остается $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -2$.

г) $625x^6 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(625x^4 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

2) $625x^4 - 1 = 0$

$625x^4 = 1$

$x^4 = \frac{1}{625}$

Извлечем корень четвертой степени. Поскольку $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{625}}$

$x_2 = \frac{1}{5}, x_3 = -\frac{1}{5}$

Уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{5}, x_3 = -\frac{1}{5}$.