Номер 159, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 159, страница 235.

Условие.

159 а) $x^2 - 5x + 6;$

б) $t^2 + 6t + 5;$

В) $z^2 - 6z + 8;$

Г) $y^2 + 9y + 8.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы разложить квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Так как это приведенное квадратное уравнение (коэффициент при $x^2$ равен 1), можно воспользоваться теоремой Виета. Согласно этой теореме, сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену. То есть, для наших корней должны выполняться условия: $x_1 + x_2 = -(-5) = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$. Методом подбора находим, что эти условия выполняются для чисел 2 и 3. Следовательно, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В данном случае $a=1$, поэтому получаем: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
Ответ: $(x - 2)(x - 3)$.

б) Для разложения на множители трехчлена $t^2 + 6t + 5$ решим уравнение $t^2 + 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, для корней $t_1$ и $t_2$ должны выполняться следующие равенства: $t_1 + t_2 = -6$ и $t_1 \cdot t_2 = 5$. Подбором находим, что корнями являются числа -1 и -5. Их сумма равна -6, а произведение равно 5. Таким образом, $t_1 = -1$ и $t_2 = -5$. Формула разложения на множители для приведенного квадратного трехчлена: $(t - t_1)(t - t_2)$. Подставив найденные корни, получаем: $t^2 + 6t + 5 = (t - (-1))(t - (-5)) = (t + 1)(t + 5)$.
Ответ: $(t + 1)(t + 5)$.

в) Чтобы разложить на множители трехчлен $z^2 - 6z + 8$, найдем корни квадратного уравнения $z^2 - 6z + 8 = 0$. Используя теорему Виета, запишем систему для корней $z_1$ и $z_2$: $z_1 + z_2 = -(-6) = 6$ и $z_1 \cdot z_2 = 8$. Подбираем два числа, которые в произведении дают 8, а в сумме 6. Этими числами являются 2 и 4. Значит, корни уравнения $z_1 = 2$ и $z_2 = 4$. Применяем формулу разложения $a(z - z_1)(z - z_2)$, где $a=1$: $z^2 - 6z + 8 = (z - 2)(z - 4)$.
Ответ: $(z - 2)(z - 4)$.

г) Для разложения на множители трехчлена $y^2 + 9y + 8$ решим уравнение $y^2 + 9y + 8 = 0$. По теореме Виета, для корней $y_1$ и $y_2$ должны выполняться условия: $y_1 + y_2 = -9$ и $y_1 \cdot y_2 = 8$. Методом подбора находим, что корнями являются числа -1 и -8. Их произведение равно 8, а сумма равна -9. Итак, $y_1 = -1$ и $y_2 = -8$. Подставляем найденные корни в формулу разложения $(y - y_1)(y - y_2)$: $y^2 + 9y + 8 = (y - (-1))(y - (-8)) = (y + 1)(y + 8)$.
Ответ: $(y + 1)(y + 8)$.