Номер 157, страница 235, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 157, страница 235.

Условие.

157 a) $16 - 8p + p^2;$

б) $25x^2 + 20xy + 4y^2;$

в) $36q^2 + 12q + 1;$

г) $m^2 - 14mn + 49n^2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Для того чтобы представить трехчлен $16 - 8p + p^2$ в виде квадрата двучлена, необходимо распознать в нем формулу сокращенного умножения. В данном случае это формула квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Определим значения $a$ и $b$ для нашего выражения:

Первый член $16$ можно представить как $4^2$, следовательно, $a = 4$.

Третий член $p^2$ является квадратом $p$, следовательно, $b = p$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член $-8p$ удвоенному произведению $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot 4 \cdot p = -8p$.

Поскольку все условия выполняются, мы можем применить формулу:

$16 - 8p + p^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot p + p^2 = (4 - p)^2$.

Ответ: $(4 - p)^2$.

б) Рассмотрим трехчлен $25x^2 + 20xy + 4y^2$. Здесь мы ищем формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Определим значения $a$ и $b$:

Первый член $25x^2$ можно представить как $(5x)^2$, следовательно, $a = 5x$.

Третий член $4y^2$ можно представить как $(2y)^2$, следовательно, $b = 2y$.

Проверим средний член $20xy$ на соответствие удвоенному произведению $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (5x) \cdot (2y) = 20xy$.

Все условия выполнены, применяем формулу:

$25x^2 + 20xy + 4y^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2y + (2y)^2 = (5x + 2y)^2$.

Ответ: $(5x + 2y)^2$.

в) Рассмотрим трехчлен $36q^2 + 12q + 1$. Это также случай формулы квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Определим значения $a$ и $b$:

Первый член $36q^2$ это $(6q)^2$, значит $a = 6q$.

Третий член $1$ это $1^2$, значит $b = 1$.

Проверим средний член $12q$:

$2ab = 2 \cdot (6q) \cdot 1 = 12q$.

Соответствие полное, следовательно:

$36q^2 + 12q + 1 = (6q)^2 + 2 \cdot 6q \cdot 1 + 1^2 = (6q + 1)^2$.

Ответ: $(6q + 1)^2$.

г) Для трехчлена $m^2 - 14mn + 49n^2$ применим формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Определим значения $a$ и $b$:

Первый член $m^2$ является квадратом $m$, значит $a = m$.

Третий член $49n^2$ является квадратом $7n$, то есть $(7n)^2$, значит $b = 7n$.

Проверим средний член $-14mn$:

$-2ab = -2 \cdot m \cdot (7n) = -14mn$.

Выражение полностью соответствует формуле, поэтому:

$m^2 - 14mn + 49n^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 7n + (7n)^2 = (m - 7n)^2$.

Ответ: $(m - 7n)^2$.