Номер 163, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 163, страница 236.

Условие.

163 a) $x^3 + 16x^2 + 64x = 0;$

Б) $8y^4 - 40y^3 + 50y^2 = 0;$

В) $81x^4 - 18x^3 + x^2 = 0;$

Г) $27t^3 + 36t^2 + 12t = 0.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) $x^3 + 16x^2 + 64x = 0$

Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + 16x + 64) = 0$

Выражение в скобках, $x^2 + 16x + 64$, представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=8$, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 + 16x + 64$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$x(x+8)^2 = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:

1) $x = 0$

2) $(x+8)^2 = 0 \Rightarrow x+8 = 0 \Rightarrow x = -8$

Уравнение имеет два корня: 0 и -8.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -8$.

б) $8y^4 - 40y^3 + 50y^2 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $2y^2$:

$2y^2(4y^2 - 20y + 25) = 0$

Выражение в скобках, $4y^2 - 20y + 25$, является полным квадратом разности. Применим формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=2y$ и $b=5$, так как $(2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 5 + 5^2 = 4y^2 - 20y + 25$.

Перепишем уравнение:

$2y^2(2y-5)^2 = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $2y^2 = 0 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0$

2) $(2y-5)^2 = 0 \Rightarrow 2y-5 = 0 \Rightarrow 2y = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{2} = 2.5$

Уравнение имеет два корня: 0 и 2.5.

Ответ: $y_1 = 0, y_2 = 2.5$.

в) $81x^4 - 18x^3 + x^2 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(81x^2 - 18x + 1) = 0$

Выражение в скобках, $81x^2 - 18x + 1$, является полным квадратом разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=9x$ и $b=1$, поскольку $(9x)^2 - 2 \cdot (9x) \cdot 1 + 1^2 = 81x^2 - 18x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$x^2(9x-1)^2 = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

2) $(9x-1)^2 = 0 \Rightarrow 9x-1 = 0 \Rightarrow 9x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{9}$

Уравнение имеет два корня: 0 и $\frac{1}{9}$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{9}$.

г) $27t^3 + 36t^2 + 12t = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $3t$:

$3t(9t^2 + 12t + 4) = 0$

Выражение в скобках, $9t^2 + 12t + 4$, является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=3t$ и $b=2$, так как $(3t)^2 + 2 \cdot (3t) \cdot 2 + 2^2 = 9t^2 + 12t + 4$.

Перепишем уравнение в виде:

$3t(3t+2)^2 = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $3t = 0 \Rightarrow t = 0$

2) $(3t+2)^2 = 0 \Rightarrow 3t+2 = 0 \Rightarrow 3t = -2 \Rightarrow t = -\frac{2}{3}$

Уравнение имеет два корня: 0 и $-\frac{2}{3}$.

Ответ: $t_1 = 0, t_2 = -\frac{2}{3}$.