Номер 169, страница 236, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 169, страница 236.

Условие.

169 a) $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3;$

б) $a^3 - b^3 - 3ab(a - b) = (a - b)^3.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы доказать тождество $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$, преобразуем правую часть равенства, используя известную формулу сокращенного умножения для куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Раскроем скобки в выражении $(a + b)^3$:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Теперь сгруппируем слагаемые в полученном выражении. Переставим местами $b^3$ и $3a^2b$, а затем вынесем за скобки общий множитель $3ab$ у последних двух слагаемых:

$a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$

Мы видим, что полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$.

б) Чтобы доказать тождество $a^3 - b^3 - 3ab(a - b) = (a - b)^3$, преобразуем правую часть равенства, используя формулу сокращенного умножения для куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Раскроем скобки в выражении $(a - b)^3$:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении. Переставим местами $-b^3$ и $-3a^2b$, а затем вынесем за скобки общий множитель $-3ab$ у слагаемых $-3a^2b$ и $3ab^2$:

$a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$

Полученное выражение совпадает с левой частью исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: $a^3 - b^3 - 3ab(a - b) = (a - b)^3$.