Номер 172, страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 172, страница 237.

Условие.

172 Вычислите наиболее рациональным способом:

а) $\frac{910}{137^2 - 123^2}$;

б) $\frac{274^2 - 34^2}{960}$;

в) $\frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2}$;

г) $\frac{14400}{324^2 - 36^2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Для вычисления этого выражения наиболее рационально применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к знаменателю дроби. Знаменатель $137^2 - 123^2$ можно разложить на множители:

$137^2 - 123^2 = (137 - 123)(137 + 123)$

Вычислим значения в скобках:

$137 - 123 = 14$

$137 + 123 = 260$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{910}{137^2 - 123^2} = \frac{910}{14 \times 260}$

Сократим дробь. Заметим, что $910 = 91 \times 10$ и $260 = 26 \times 10$. Также $91 = 7 \times 13$ и $14 = 2 \times 7$, а $26 = 2 \times 13$.

$\frac{910}{14 \times 260} = \frac{91 \times 10}{14 \times 26 \times 10} = \frac{91}{14 \times 26} = \frac{7 \times 13}{(2 \times 7) \times (2 \times 13)} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) В числителе дроби применим ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\frac{274^2 - 34^2}{960} = \frac{(274 - 34)(274 + 34)}{960}$

Вычислим значения в скобках:

$274 - 34 = 240$

$274 + 34 = 308$

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{240 \times 308}{960}$

Сократим дробь, заметив, что $960 = 4 \times 240$:

$\frac{240 \times 308}{4 \times 240} = \frac{308}{4} = 77$

Ответ: $77$

в) В этом примере формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ применяется как к числителю, так и к знаменателю дроби.

Преобразуем числитель: $53^2 - 27^2 = (53 - 27)(53 + 27) = 26 \times 80$.

Преобразуем знаменатель: $79^2 - 51^2 = (79 - 51)(79 + 51) = 28 \times 130$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2} = \frac{26 \times 80}{28 \times 130}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{26 \times 80}{28 \times 130} = \frac{26}{130} \times \frac{80}{28} = \frac{2 \times 13}{10 \times 13} \times \frac{20 \times 4}{7 \times 4} = \frac{2}{10} \times \frac{20}{7} = \frac{1}{5} \times \frac{20}{7} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$

Ответ: $\frac{4}{7}$

г) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к знаменателю.

$\frac{14400}{324^2 - 36^2} = \frac{14400}{(324 - 36)(324 + 36)}$

Вычислим значения в скобках:

$324 - 36 = 288$

$324 + 36 = 360$

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{14400}{288 \times 360}$

Сократим дробь. Удобно заметить, что $14400 = 144 \times 100$ и $288 = 2 \times 144$.

$\frac{144 \times 100}{(2 \times 144) \times 360} = \frac{100}{2 \times 360} = \frac{100}{720} = \frac{10}{72}$

Сократим последнюю дробь на 2:

$\frac{10 \div 2}{72 \div 2} = \frac{5}{36}$

Ответ: $\frac{5}{36}$