Номер 179, страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 179, страница 237.

Условие.

179 a) $\frac{25x^2 - 20xy + 4y^2}{10xy - 4y^2}$;

Б) $\frac{8s^3 - 27t^3}{12s^3 + 18s^2t + 27st^2}$;

В) $\frac{18ab^2 - 3b^3}{36a^2 - 12ab + b^2}$;

Г) $\frac{9k^2 + 27kl}{k^3 + 27l^3}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{25x^2 - 20xy + 4y^2}{10xy - 4y^2}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель $25x^2 - 20xy + 4y^2$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Здесь $a=5x$ и $b=2y$, поэтому:
$25x^2 - 20xy + 4y^2 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot (2y) + (2y)^2 = (5x - 2y)^2$.
В знаменателе $10xy - 4y^2$ вынесем за скобки общий множитель $2y$:
$10xy - 4y^2 = 2y(5x - 2y)$.
Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим ее:
$\frac{(5x - 2y)^2}{2y(5x - 2y)} = \frac{5x - 2y}{2y}$.
Ответ: $\frac{5x - 2y}{2y}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{8s^3 - 27t^3}{12s^3 + 18s^2t + 27st^2}$.
Числитель $8s^3 - 27t^3$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном случае $a=2s$ и $b=3t$:
$8s^3 - 27t^3 = (2s)^3 - (3t)^3 = (2s - 3t)((2s)^2 + (2s)(3t) + (3t)^2) = (2s - 3t)(4s^2 + 6st + 9t^2)$.
В знаменателе $12s^3 + 18s^2t + 27st^2$ вынесем за скобки общий множитель $3s$:
$12s^3 + 18s^2t + 27st^2 = 3s(4s^2 + 6st + 9t^2)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:
$\frac{(2s - 3t)(4s^2 + 6st + 9t^2)}{3s(4s^2 + 6st + 9t^2)} = \frac{2s - 3t}{3s}$.
Ответ: $\frac{2s - 3t}{3s}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{18ab^2 - 3b^3}{36a^2 - 12ab + b^2}$.
В числителе $18ab^2 - 3b^3$ вынесем за скобки общий множитель $3b^2$:
$18ab^2 - 3b^3 = 3b^2(6a - b)$.
Знаменатель $36a^2 - 12ab + b^2$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=6a$ и $y=b$:
$36a^2 - 12ab + b^2 = (6a)^2 - 2 \cdot (6a) \cdot b + b^2 = (6a - b)^2$.
Подставим полученные выражения в дробь и сократим:
$\frac{3b^2(6a - b)}{(6a - b)^2} = \frac{3b^2}{6a - b}$.
Ответ: $\frac{3b^2}{6a - b}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{9k^2 + 27kl}{k^3 + 27l^3}$.
В числителе $9k^2 + 27kl$ вынесем за скобки общий множитель $9k$:
$9k^2 + 27kl = 9k(k + 3l)$.
Знаменатель $k^3 + 27l^3$ является суммой кубов. Применим формулу $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае $a=k$ и $b=3l$:
$k^3 + 27l^3 = k^3 + (3l)^3 = (k + 3l)(k^2 - k \cdot 3l + (3l)^2) = (k + 3l)(k^2 - 3kl + 9l^2)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(k + 3l)$:
$\frac{9k(k + 3l)}{(k + 3l)(k^2 - 3kl + 9l^2)} = \frac{9k}{k^2 - 3kl + 9l^2}$.
Ответ: $\frac{9k}{k^2 - 3kl + 9l^2}$