Номер 178, страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 178, страница 237.

Условие.

178 a) $\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}$;

б) $\frac{16a^2 - 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2}$;

в) $\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2}$;

г) $\frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 - 36t^2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Чтобы упростить дробь $\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}$, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $9x^2 - 6x + 1$ является полным квадратом разности. Используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a^2 = 9x^2$, следовательно, $a = 3x$. $b^2 = 1$, следовательно, $b = 1$. Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot 3x \cdot 1 = -6x$. Формула верна.

Таким образом, числитель можно записать как $(3x - 1)^2$.

Знаменатель $9x^2 - 1$ является разностью квадратов. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a^2 = 9x^2$, значит $a = 3x$, и $b^2 = 1$, значит $b = 1$.

Таким образом, знаменатель можно записать как $(3x - 1)(3x + 1)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1} = \frac{(3x - 1)^2}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{(3x - 1)\cdot\cancel{(3x - 1)}}{\cancel{(3x - 1)}\cdot(3x + 1)} = \frac{3x - 1}{3x + 1}$.

Ответ: $\frac{3x - 1}{3x + 1}$

б)

Упростим дробь $\frac{16a^2 - 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2}$.

Числитель $16a^2 - 25b^2$ — это разность квадратов вида $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Здесь $x^2 = 16a^2 \implies x = 4a$ и $y^2 = 25b^2 \implies y = 5b$.

Значит, числитель раскладывается на множители как $(4a - 5b)(4a + 5b)$.

Знаменатель $16a^2 + 40ab + 25b^2$ — это полный квадрат суммы вида $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x^2 = 16a^2 \implies x = 4a$ и $y^2 = 25b^2 \implies y = 5b$. Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot 4a \cdot 5b = 40ab$. Формула верна.

Значит, знаменатель равен $(4a + 5b)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{16a^2 - 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2} = \frac{(4a - 5b)(4a + 5b)}{(4a + 5b)^2} = \frac{(4a - 5b)\cdot\cancel{(4a + 5b)}}{(4a + 5b)\cdot\cancel{(4a + 5b)}} = \frac{4a - 5b}{4a + 5b}$.

Ответ: $\frac{4a - 5b}{4a + 5b}$

в)

Упростим дробь $\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2}$.

Числитель $4m^2 - 9n^2$ является разностью квадратов. По формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2m$ и $b = 3n$, получаем:

$4m^2 - 9n^2 = (2m - 3n)(2m + 3n)$.

Знаменатель $9n^2 - 12mn + 4m^2$ является полным квадратом разности. Для удобства переставим слагаемые: $4m^2 - 12mn + 9n^2$. По формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2m$ и $b = 3n$, получаем:

$4m^2 - 12mn + 9n^2 = (2m - 3n)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:

$\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2} = \frac{(2m - 3n)(2m + 3n)}{(2m - 3n)^2} = \frac{\cancel{(2m - 3n)}\cdot(2m + 3n)}{(2m - 3n)\cdot\cancel{(2m - 3n)}} = \frac{2m + 3n}{2m - 3n}$.

Ответ: $\frac{2m + 3n}{2m - 3n}$

г)

Упростим дробь $\frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 - 36t^2}$.

Числитель $36t^2 + 12st + s^2$ является полным квадратом суммы. Перепишем его в стандартном виде: $s^2 + 12st + 36t^2$. По формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = s$ и $b = 6t$, получаем:

$s^2 + 12st + 36t^2 = (s + 6t)^2$.

Знаменатель $s^2 - 36t^2$ является разностью квадратов. По формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = s$ и $b = 6t$, получаем:

$s^2 - 36t^2 = (s - 6t)(s + 6t)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:

$\frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 - 36t^2} = \frac{(s + 6t)^2}{(s - 6t)(s + 6t)} = \frac{(s + 6t)\cdot\cancel{(s + 6t)}}{(s - 6t)\cdot\cancel{(s + 6t)}} = \frac{s + 6t}{s - 6t}$.

Ответ: $\frac{s + 6t}{s - 6t}$