Номер 184, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 184, страница 238.

Условие.

184 а) $\frac{a + 2 + ab + 2b}{b^2 + 2b + 1}$

б) $\frac{c^2 - 9 - 3d - cd}{c^2 - 9}$

В) $\frac{2x - 2y + x^2 - xy}{x^2 - y^2}$

Г) $\frac{4a^2 - b^2 + 2a^2b - ab^2}{4a^2 - 4ab + b^2}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Чтобы упростить дробь $ \frac{a + 2 + ab + 2b}{b^2 + 2b + 1} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$ a + 2 + ab + 2b = (a + 2) + (ab + 2b) = (a + 2) \cdot 1 + b(a + 2) = (a + 2)(1 + b) $.

2. Знаменатель представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $ x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 $:
$ b^2 + 2b + 1 = (b + 1)^2 $.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$ \frac{(a + 2)(1 + b)}{(b + 1)^2} $.

4. Сократим дробь на общий множитель $ (b + 1) $:
$ \frac{(a + 2)\cancel{(1 + b)}}{(b + 1)^{\cancel{2}}} = \frac{a + 2}{b + 1} $.

Ответ: $ \frac{a + 2}{b + 1} $

б)

Чтобы упростить дробь $ \frac{c^2 - 9 - 3d - cd}{c^2 - 9} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. В числителе сгруппируем слагаемые:
$ c^2 - 9 - 3d - cd = (c^2 - 9) - (3d + cd) $.

Первую группу разложим по формуле разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $, а во второй вынесем общий множитель $ d $:
$ (c - 3)(c + 3) - d(3 + c) = (c - 3)(c + 3) - d(c + 3) $.

Теперь вынесем общий множитель $ (c + 3) $ за скобки:
$ (c + 3)(c - 3 - d) $.

2. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов:
$ c^2 - 9 = (c - 3)(c + 3) $.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $ (c+3) $:
$ \frac{(c + 3)(c - 3 - d)}{(c - 3)(c + 3)} = \frac{\cancel{(c + 3)}(c - d - 3)}{(c - 3)\cancel{(c + 3)}} = \frac{c - d - 3}{c - 3} $.

Ответ: $ \frac{c - d - 3}{c - 3} $

в)

Чтобы упростить дробь $ \frac{2x - 2y + x^2 - xy}{x^2 - y^2} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$ (2x - 2y) + (x^2 - xy) = 2(x - y) + x(x - y) $.

Вынесем общий множитель $ (x-y) $ за скобки:
$ (x - y)(2 + x) $.

2. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:
$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $ (x-y) $:
$ \frac{(x - y)(x + 2)}{(x - y)(x + y)} = \frac{\cancel{(x - y)}(x + 2)}{\cancel{(x - y)}(x + y)} = \frac{x + 2}{x + y} $.

Ответ: $ \frac{x + 2}{x + y} $

г)

Чтобы упростить дробь $ \frac{4a^2 - b^2 + 2a^2b - ab^2}{4a^2 - 4ab + b^2} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. В числителе сгруппируем слагаемые:
$ (4a^2 - b^2) + (2a^2b - ab^2) $.

Первую группу разложим по формуле разности квадратов, а из второй вынесем общий множитель $ ab $:
$ (2a - b)(2a + b) + ab(2a - b) $.

Теперь вынесем общий множитель $ (2a - b) $ за скобки:
$ (2a - b)(2a + b + ab) $.

2. Знаменатель представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $ x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 $:
$ 4a^2 - 4ab + b^2 = (2a)^2 - 2(2a)b + b^2 = (2a - b)^2 $.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $ (2a - b) $:
$ \frac{(2a - b)(2a + b + ab)}{(2a - b)^2} = \frac{\cancel{(2a - b)}(2a + ab + b)}{(2a - b)^{\cancel{2}}} = \frac{2a + ab + b}{2a - b} $.

Ответ: $ \frac{2a + ab + b}{2a - b} $