Страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

181 a) $ \frac{p - t + 2pt - 2t^2}{p - t + pt - t^2} $;

б) $ \frac{12m + 8n - 3m^2 - 2mn}{3m^2 + 2mn - 3m - 2n} $;

в) $ \frac{a - b + 4ab - 4b^2}{a - b + ab - b^2} $;

г) $ \frac{24k + 16l + 6k^2 + 4kl}{6k^2 + 4kl + 6k + 4l} $.

а) Чтобы упростить дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель. Для этого используем метод группировки слагаемых и вынесения общего множителя за скобки.
Разложим числитель: $p - t + 2pt - 2t^2 = (p - t) + (2pt - 2t^2) = 1 \cdot (p - t) + 2t(p - t) = (p - t)(1 + 2t)$.
Разложим знаменатель: $p - t + pt - t^2 = (p - t) + (pt - t^2) = 1 \cdot (p - t) + t(p - t) = (p - t)(1 + t)$.
Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(p - t)$:
$\frac{p - t + 2pt - 2t^2}{p - t + pt - t^2} = \frac{(p - t)(1 + 2t)}{(p - t)(1 + t)} = \frac{1 + 2t}{1 + t}$.
Ответ: $\frac{1 + 2t}{1 + t}$

б) Упростим данную дробь, разложив её числитель и знаменатель на множители методом группировки.
Числитель: $12m + 8n - 3m^2 - 2mn = (12m + 8n) - (3m^2 + 2mn) = 4(3m + 2n) - m(3m + 2n) = (4 - m)(3m + 2n)$.
Знаменатель: $3m^2 + 2mn - 3m - 2n = (3m^2 + 2mn) - (3m + 2n) = m(3m + 2n) - 1(3m + 2n) = (m - 1)(3m + 2n)$.
Подставим разложенные многочлены в дробь и сократим на общий множитель $(3m + 2n)$:
$\frac{12m + 8n - 3m^2 - 2mn}{3m^2 + 2mn - 3m - 2n} = \frac{(4 - m)(3m + 2n)}{(m - 1)(3m + 2n)} = \frac{4 - m}{m - 1}$.
Ответ: $\frac{4 - m}{m - 1}$

в) Для упрощения дроби разложим числитель и знаменатель на множители.
Разложим числитель: $a - b + 4ab - 4b^2 = (a - b) + (4ab - 4b^2) = 1(a - b) + 4b(a - b) = (a - b)(1 + 4b)$.
Разложим знаменатель: $a - b + ab - b^2 = (a - b) + (ab - b^2) = 1(a - b) + b(a - b) = (a - b)(1 + b)$.
Теперь выполним сокращение дроби, разделив числитель и знаменатель на их общий множитель $(a - b)$:
$\frac{a - b + 4ab - 4b^2}{a - b + ab - b^2} = \frac{(a - b)(1 + 4b)}{(a - b)(1 + b)} = \frac{1 + 4b}{1 + b}$.
Ответ: $\frac{1 + 4b}{1 + b}$

г) Упростим дробь, предварительно разложив её числитель и знаменатель на множители путём группировки.
Числитель: $24k + 16l + 6k^2 + 4kl = (6k^2 + 4kl) + (24k + 16l) = 2k(3k + 2l) + 8(3k + 2l) = (2k + 8)(3k + 2l)$.
Знаменатель: $6k^2 + 4kl + 6k + 4l = (6k^2 + 4kl) + (6k + 4l) = 2k(3k + 2l) + 2(3k + 2l) = (2k + 2)(3k + 2l)$.
Подставим разложения в дробь и сократим общий множитель $(3k + 2l)$:
$\frac{24k + 16l + 6k^2 + 4kl}{6k^2 + 4kl + 6k + 4l} = \frac{(2k + 8)(3k + 2l)}{(2k + 2)(3k + 2l)} = \frac{2k + 8}{2k + 2}$.
В полученной дроби можно вынести за скобки общий множитель 2 и сократить его:
$\frac{2(k + 4)}{2(k + 1)} = \frac{k + 4}{k + 1}$.
Ответ: $\frac{k + 4}{k + 1}$

182 a) $\frac{p - t + 2pt - 2t^2}{1 + 4t + 4t^2}$;

Б) $\frac{m^3 - 1}{4m^2 + 3mn - 4m - 3n}$;

В) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b - ab + b^2}$;

Г) $\frac{6k + 5l + 6k^2 + 5kl}{k^3 + 1}$.

а) Для сокращения дроби $\frac{p - t + 2pt - 2t^2}{1 + 4t + 4t^2}$ разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$p - t + 2pt - 2t^2 = (p + 2pt) - (t + 2t^2) = p(1 + 2t) - t(1 + 2t) = (p - t)(1 + 2t)$.
Знаменатель представляет собой полный квадрат суммы:
$1 + 4t + 4t^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2t + (2t)^2 = (1 + 2t)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{(p - t)(1 + 2t)}{(1 + 2t)^2} = \frac{p - t}{1 + 2t}$.
Ответ: $\frac{p - t}{1 + 2t}$

б) Для сокращения дроби $\frac{m^3 - 1}{4m^2 + 3mn - 4m - 3n}$ разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$m^3 - 1 = (m - 1)(m^2 + m \cdot 1 + 1^2) = (m - 1)(m^2 + m + 1)$.
В знаменателе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$4m^2 + 3mn - 4m - 3n = (4m^2 - 4m) + (3mn - 3n) = 4m(m - 1) + 3n(m - 1) = (4m + 3n)(m - 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{(m - 1)(m^2 + m + 1)}{(4m + 3n)(m - 1)} = \frac{m^2 + m + 1}{4m + 3n}$.
Ответ: $\frac{m^2 + m + 1}{4m + 3n}$

в) Для сокращения дроби $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b - ab + b^2}$ разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель представляет собой полный квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В знаменателе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$a - b - ab + b^2 = (a - b) - (ab - b^2) = (a - b) - b(a - b) = (a - b)(1 - b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{(a - b)^2}{(a - b)(1 - b)} = \frac{a - b}{1 - b}$.
Ответ: $\frac{a - b}{1 - b}$

г) Для сокращения дроби $\frac{6k + 5l + 6k^2 + 5kl}{k^3 + 1}$ разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$6k + 5l + 6k^2 + 5kl = (6k + 6k^2) + (5l + 5kl) = 6k(1 + k) + 5l(1 + k) = (6k + 5l)(k + 1)$.
В знаменателе применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$k^3 + 1 = (k + 1)(k^2 - k \cdot 1 + 1^2) = (k + 1)(k^2 - k + 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{(6k + 5l)(k + 1)}{(k + 1)(k^2 - k + 1)} = \frac{6k + 5l}{k^2 - k + 1}$.
Ответ: $\frac{6k + 5l}{k^2 - k + 1}$

183 a) $ \frac{2m - 2n + 3mn - 3n^2}{16m + 54mn^3} $;

Б) $ \frac{8x^2 + 10xy}{4x^2 + 5xy - 4x - 5y} $;

В) $ \frac{a - b + 4ab - 4b^2}{48ab^3 + 3ab + 24ab^2} $;

Г) $ \frac{p^3 + p^2}{3p^2 + 4pq + 3p + 4q} $.

а)

Дана дробь $\frac{2m - 2n + 3mn - 3n^2}{16m + 54mn^3}$.

1. Разложим числитель на множители методом группировки:

$2m - 2n + 3mn - 3n^2 = (2m - 2n) + (3mn - 3n^2) = 2(m - n) + 3n(m - n) = (m - n)(2 + 3n)$.

2. Разложим знаменатель на множители. Сначала вынесем общий множитель $2m$ за скобки:

$16m + 54mn^3 = 2m(8 + 27n^3)$.

Выражение в скобках является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$8 + 27n^3 = 2^3 + (3n)^3 = (2 + 3n)(2^2 - 2 \cdot 3n + (3n)^2) = (2 + 3n)(4 - 6n + 9n^2)$.

Таким образом, знаменатель равен $2m(2 + 3n)(4 - 6n + 9n^2)$.

3. Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{(m - n)(2 + 3n)}{2m(2 + 3n)(4 - 6n + 9n^2)}$

4. Сократим общий множитель $(2 + 3n)$:

$\frac{m - n}{2m(4 - 6n + 9n^2)}$

Ответ: $\frac{m - n}{2m(4 - 6n + 9n^2)}$

б)

Дана дробь $\frac{8x^2 + 10xy}{4x^2 + 5xy - 4x - 5y}$.

1. Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $2x$ за скобки:

$8x^2 + 10xy = 2x(4x + 5y)$.

2. Разложим знаменатель на множители методом группировки:

$4x^2 + 5xy - 4x - 5y = (4x^2 + 5xy) - (4x + 5y) = x(4x + 5y) - 1(4x + 5y) = (x - 1)(4x + 5y)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{2x(4x + 5y)}{(x - 1)(4x + 5y)}$

4. Сократим общий множитель $(4x + 5y)$:

$\frac{2x}{x - 1}$

Ответ: $\frac{2x}{x - 1}$

в)

Дана дробь $\frac{a - b + 4ab - 4b^2}{48ab^3 + 3ab + 24ab^2}$.

1. Разложим числитель на множители методом группировки:

$a - b + 4ab - 4b^2 = (a - b) + (4ab - 4b^2) = (a - b) + 4b(a - b) = (a - b)(1 + 4b)$.

2. Разложим знаменатель на множители. Сначала перегруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $3ab$ за скобки:

$3ab + 24ab^2 + 48ab^3 = 3ab(1 + 8b + 16b^2)$.

Выражение в скобках является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$1 + 8b + 16b^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 4b + (4b)^2 = (1 + 4b)^2$.

Таким образом, знаменатель равен $3ab(1 + 4b)^2$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(a - b)(1 + 4b)}{3ab(1 + 4b)^2}$

4. Сократим общий множитель $(1 + 4b)$:

$\frac{a - b}{3ab(1 + 4b)}$

Ответ: $\frac{a - b}{3ab(1 + 4b)}$

г)

Дана дробь $\frac{p^3 + p^2}{3p^2 + 4pq + 3p + 4q}$.

1. Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $p^2$ за скобки:

$p^3 + p^2 = p^2(p + 1)$.

2. Разложим знаменатель на множители методом группировки:

$3p^2 + 4pq + 3p + 4q = (3p^2 + 3p) + (4pq + 4q) = 3p(p + 1) + 4q(p + 1) = (3p + 4q)(p + 1)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{p^2(p + 1)}{(3p + 4q)(p + 1)}$

4. Сократим общий множитель $(p + 1)$:

$\frac{p^2}{3p + 4q}$

Ответ: $\frac{p^2}{3p + 4q}$

184 а) $\frac{a + 2 + ab + 2b}{b^2 + 2b + 1}$

б) $\frac{c^2 - 9 - 3d - cd}{c^2 - 9}$

В) $\frac{2x - 2y + x^2 - xy}{x^2 - y^2}$

Г) $\frac{4a^2 - b^2 + 2a^2b - ab^2}{4a^2 - 4ab + b^2}$

Чтобы упростить дробь $ \frac{a + 2 + ab + 2b}{b^2 + 2b + 1} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$ a + 2 + ab + 2b = (a + 2) + (ab + 2b) = (a + 2) \cdot 1 + b(a + 2) = (a + 2)(1 + b) $.

2. Знаменатель представляет собой полный квадрат суммы, который можно свернуть по формуле $ x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 $:
$ b^2 + 2b + 1 = (b + 1)^2 $.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$ \frac{(a + 2)(1 + b)}{(b + 1)^2} $.

4. Сократим дробь на общий множитель $ (b + 1) $:
$ \frac{(a + 2)\cancel{(1 + b)}}{(b + 1)^{\cancel{2}}} = \frac{a + 2}{b + 1} $.

Ответ: $ \frac{a + 2}{b + 1} $

Чтобы упростить дробь $ \frac{c^2 - 9 - 3d - cd}{c^2 - 9} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. В числителе сгруппируем слагаемые:
$ c^2 - 9 - 3d - cd = (c^2 - 9) - (3d + cd) $.

Первую группу разложим по формуле разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $, а во второй вынесем общий множитель $ d $:
$ (c - 3)(c + 3) - d(3 + c) = (c - 3)(c + 3) - d(c + 3) $.

Теперь вынесем общий множитель $ (c + 3) $ за скобки:
$ (c + 3)(c - 3 - d) $.

2. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов:
$ c^2 - 9 = (c - 3)(c + 3) $.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $ (c+3) $:
$ \frac{(c + 3)(c - 3 - d)}{(c - 3)(c + 3)} = \frac{\cancel{(c + 3)}(c - d - 3)}{(c - 3)\cancel{(c + 3)}} = \frac{c - d - 3}{c - 3} $.

Ответ: $ \frac{c - d - 3}{c - 3} $

Чтобы упростить дробь $ \frac{2x - 2y + x^2 - xy}{x^2 - y^2} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$ (2x - 2y) + (x^2 - xy) = 2(x - y) + x(x - y) $.

Вынесем общий множитель $ (x-y) $ за скобки:
$ (x - y)(2 + x) $.

2. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:
$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $ (x-y) $:
$ \frac{(x - y)(x + 2)}{(x - y)(x + y)} = \frac{\cancel{(x - y)}(x + 2)}{\cancel{(x - y)}(x + y)} = \frac{x + 2}{x + y} $.

Ответ: $ \frac{x + 2}{x + y} $

Чтобы упростить дробь $ \frac{4a^2 - b^2 + 2a^2b - ab^2}{4a^2 - 4ab + b^2} $, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. В числителе сгруппируем слагаемые:
$ (4a^2 - b^2) + (2a^2b - ab^2) $.

Первую группу разложим по формуле разности квадратов, а из второй вынесем общий множитель $ ab $:
$ (2a - b)(2a + b) + ab(2a - b) $.

Теперь вынесем общий множитель $ (2a - b) $ за скобки:
$ (2a - b)(2a + b + ab) $.

2. Знаменатель представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $ x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 $:
$ 4a^2 - 4ab + b^2 = (2a)^2 - 2(2a)b + b^2 = (2a - b)^2 $.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим на общий множитель $ (2a - b) $:
$ \frac{(2a - b)(2a + b + ab)}{(2a - b)^2} = \frac{\cancel{(2a - b)}(2a + ab + b)}{(2a - b)^{\cancel{2}}} = \frac{2a + ab + b}{2a - b} $.

Ответ: $ \frac{2a + ab + b}{2a - b} $

185 a) $ \frac{x^2 - 49}{16 - (x - 3)^2} $

б) $ \frac{81 - 36t + 4t^2}{(2t - 3)^2 - 36} $

В) $ \frac{(x - 1)^2 - 144}{x^2 - 121} $

Г) $ \frac{25 - (5x - 1)^2}{36 - 60x + 25x^2} $

а)

Для упрощения дроби $ \frac{x^2 - 49}{16 - (x - 3)^2} $ разложим на множители числитель и знаменатель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Разложим числитель: $x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$.

2. Разложим знаменатель: $16 - (x - 3)^2 = 4^2 - (x - 3)^2 = (4 - (x - 3))(4 + (x - 3)) = (4 - x + 3)(4 + x - 3) = (7 - x)(x + 1)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(x - 7)(x + 7)}{(7 - x)(x + 1)} $

4. Заметим, что множители $(x - 7)$ и $(7 - x)$ являются противоположными, то есть $x - 7 = -(7 - x)$. Вынесем минус за скобки в числителе:

$ \frac{-(7 - x)(x + 7)}{(7 - x)(x + 1)} $

5. Сократим дробь на общий множитель $(7 - x)$:

$ \frac{-(x + 7)}{x + 1} = -\frac{x + 7}{x + 1} $

Ответ: $-\frac{x + 7}{x + 1}$

б)

Для упрощения дроби $ \frac{81 - 36t + 4t^2}{(2t - 3)^2 - 36} $ разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель: $81 - 36t + 4t^2$. Перепишем выражение в стандартном виде: $4t^2 - 36t + 81$. Это выражение является полным квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2t$ и $b = 9$. Проверим: $(2t - 9)^2 = (2t)^2 - 2 \cdot 2t \cdot 9 + 9^2 = 4t^2 - 36t + 81$. Таким образом, числитель равен $(2t - 9)^2$.

2. Разложим знаменатель: $(2t - 3)^2 - 36$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2t - 3$ и $b = 6$.

$(2t - 3)^2 - 6^2 = ((2t - 3) - 6)((2t - 3) + 6) = (2t - 9)(2t + 3)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(2t - 9)^2}{(2t - 9)(2t + 3)} $

4. Сократим дробь на общий множитель $(2t - 9)$:

$ \frac{2t - 9}{2t + 3} $

Ответ: $\frac{2t - 9}{2t + 3}$

в)

Для упрощения дроби $ \frac{(x - 1)^2 - 144}{x^2 - 121} $ разложим на множители числитель и знаменатель, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1. Разложим числитель: $(x - 1)^2 - 144 = (x - 1)^2 - 12^2$. Здесь $a = x - 1$ и $b = 12$.

$((x - 1) - 12)((x - 1) + 12) = (x - 13)(x + 11)$.

2. Разложим знаменатель: $x^2 - 121 = x^2 - 11^2 = (x - 11)(x + 11)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(x - 13)(x + 11)}{(x - 11)(x + 11)} $

4. Сократим дробь на общий множитель $(x + 11)$:

$ \frac{x - 13}{x - 11} $

Ответ: $\frac{x - 13}{x - 11}$

г)

Для упрощения дроби $ \frac{25 - (5x - 1)^2}{36 - 60x + 25x^2} $ разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель: $25 - (5x - 1)^2$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5$ и $b = 5x - 1$.

$(5 - (5x - 1))(5 + (5x - 1)) = (5 - 5x + 1)(5 + 5x - 1) = (6 - 5x)(4 + 5x)$.

2. Разложим знаменатель: $36 - 60x + 25x^2$. Перепишем выражение в стандартном виде: $25x^2 - 60x + 36$. Это выражение является полным квадратом разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 5x$ и $b = 6$. Проверим: $(5x - 6)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 6 + 6^2 = 25x^2 - 60x + 36$. Таким образом, знаменатель равен $(5x - 6)^2$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(6 - 5x)(4 + 5x)}{(5x - 6)^2} $

4. Заметим, что множители $(6 - 5x)$ и $(5x - 6)$ являются противоположными, то есть $6 - 5x = -(5x - 6)$. Вынесем минус за скобки в числителе:

$ \frac{-(5x - 6)(5x + 4)}{(5x - 6)^2} $

5. Сократим дробь на общий множитель $(5x - 6)$:

$ \frac{-(5x + 4)}{5x - 6} = -\frac{5x + 4}{5x - 6} $

Ответ: $-\frac{5x + 4}{5x - 6}$

Постройте график функции:

186 a) $y = \frac{x^2 - 2x}{2 - x}$;

б) $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$;

в) $y = \frac{x^2 + 3x}{x}$;

г) $y = \frac{x^2 - 16}{4 - x}$.

а) Дана функция $y = \frac{x^2 - 2x}{2 - x}$. Область определения функции (ОДЗ) задается условием, что знаменатель не равен нулю: $2 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$. Упростим выражение для функции. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - 2x = x(x-2)$. В знаменателе вынесем за скобки $-1$: $2-x = -(x-2)$. Тогда функция примет вид: $y = \frac{x(x-2)}{-(x-2)}$. При условии $x \neq 2$ можно сократить дробь на $(x-2)$, в результате чего получим $y = -x$. Таким образом, график исходной функции представляет собой прямую $y = -x$, из которой удалена точка, соответствующая значению $x=2$. Найдем координаты этой "выколотой" точки: при $x=2$, значение $y$ было бы равно $-2$. Следовательно, точка, которую нужно исключить из графика, имеет координаты $(2, -2)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x$ с выколотой точкой $(2, -2)$.

б) Дана функция $y = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$. ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$. Упростим функцию, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. Тогда $y = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$. При $x \neq -3$ можно сократить дробь на $(x+3)$, получим $y = x-3$. График исходной функции — это прямая $y = x-3$ с выколотой точкой при $x=-3$. Найдем ординату этой точки: $y = -3 - 3 = -6$. Координаты выколотой точки: $(-3, -6)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y = x-3$ с выколотой точкой $(-3, -6)$.

в) Дана функция $y = \frac{x^2 + 3x}{x}$. ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x \neq 0$. Упростим функцию, вынеся в числителе $x$ за скобки: $x^2 + 3x = x(x+3)$. Тогда $y = \frac{x(x+3)}{x}$. При $x \neq 0$ можно сократить дробь на $x$, получим $y = x+3$. График исходной функции — это прямая $y = x+3$ с выколотой точкой при $x=0$. Найдем ординату этой точки: $y = 0 + 3 = 3$. Координаты выколотой точки: $(0, 3)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y = x+3$ с выколотой точкой $(0, 3)$.

г) Дана функция $y = \frac{x^2 - 16}{4 - x}$. ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $4 - x \neq 0$, то есть $x \neq 4$. Упростим функцию. Числитель — это разность квадратов: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$. Знаменатель можно представить как $4 - x = -(x-4)$. Тогда $y = \frac{(x-4)(x+4)}{-(x-4)}$. При $x \neq 4$ можно сократить дробь на $(x-4)$, получим $y = -(x+4)$, или $y = -x-4$. График исходной функции — это прямая $y = -x-4$ с выколотой точкой при $x=4$. Найдем ординату этой точки: $y = -4 - 4 = -8$. Координаты выколотой точки: $(4, -8)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x-4$ с выколотой точкой $(4, -8)$.

187 a) $y = \frac{x^3 - 9x}{(3 - x)(3 + x)}$;

б) $y = \frac{8x^2 - 32}{x^2 - 4}$;

В) $y = \frac{25x - x^3}{x^2 + 5x}$;

Г) $y = \frac{3x^2 + 6x}{-x^2 - 2x}$.

а) $y = \frac{x^3 - 9x}{(3 - x)(3 + x)}$

Для упрощения дроби необходимо разложить на множители числитель и знаменатель и сократить общие множители.

1. Разложим на множители числитель $x^3 - 9x$. Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 9)$. Выражение в скобках, $x^2 - 9$, является разностью квадратов и раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Таким образом, числитель равен $x(x - 3)(x + 3)$.

2. Знаменатель $(3 - x)(3 + x)$ уже разложен на множители. Чтобы множители были идентичны числителю, вынесем $-1$ из скобки $(3 - x)$: $(3 - x) = -(x - 3)$.

Тогда знаменатель равен $-(x - 3)(x + 3)$.

3. Подставим полученные выражения в исходную функцию:

$y = \frac{x(x - 3)(x + 3)}{-(x - 3)(x + 3)}$

4. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(3 - x)(3 + x) \neq 0$. Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

5. Сократим общие множители $(x - 3)$ и $(x + 3)$:

$y = \frac{x}{-1} = -x$

Таким образом, исходная функция упрощается до $y = -x$ при условии, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Ответ: $y = -x$, при $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

б) $y = \frac{8x^2 - 32}{x^2 - 4}$

1. Разложим на множители числитель $8x^2 - 32$. Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$8(x^2 - 4)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 - 4$, используя формулу разности квадратов:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

3. Подставим разложенные выражения в функцию. Также можно заметить, что выражение $x^2 - 4$ есть и в числителе, и в знаменателе.

$y = \frac{8(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$

4. ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x^2 - 4 \neq 0$, что означает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

5. Сократим дробь на общий множитель $(x^2 - 4)$:

$y = 8$

Исходная функция упрощается до $y = 8$ при условии, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Ответ: $y = 8$, при $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

в) $y = \frac{25x - x^3}{x^2 + 5x}$

1. Разложим на множители числитель $25x - x^3$. Вынесем за скобки $x$: $x(25 - x^2)$. Затем разложим разность квадратов $25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)$.

Числитель равен $x(5 - x)(5 + x)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 + 5x$. Вынесем за скобки $x$:

$x(x + 5)$.

3. Подставим разложенные выражения в функцию:

$y = \frac{x(5 - x)(5 + x)}{x(x + 5)}$

4. ОДЗ: знаменатель $x^2 + 5x \neq 0$, т.е. $x(x + 5) \neq 0$. Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$.

5. Сократим дробь на общие множители $x$ и $(x+5)$, так как $(5+x) = (x+5)$:

$y = 5 - x$

Исходная функция упрощается до $y = 5 - x$ при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -5$.

Ответ: $y = 5 - x$, при $x \neq 0$ и $x \neq -5$.

г) $y = \frac{3x^2 + 6x}{-x^2 - 2x}$

1. Разложим на множители числитель $3x^2 + 6x$. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $-x^2 - 2x$. Вынесем общий множитель $-x$ за скобки:

$-x(x + 2)$.

3. Подставим разложенные выражения в функцию:

$y = \frac{3x(x + 2)}{-x(x + 2)}$

4. ОДЗ: знаменатель $-x^2 - 2x \neq 0$, т.е. $-x(x + 2) \neq 0$. Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

5. Сократим дробь на общие множители $x$ и $(x+2)$:

$y = \frac{3}{-1} = -3$

Исходная функция упрощается до $y = -3$ при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Ответ: $y = -3$, при $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

188 a) $y = \frac{(-x^3)^2}{-x^4}$;

б) $y = \frac{x^4 - x^2}{x^2 - 1}$;

в) $y = \frac{x^3 + 3x^2}{x + 3}$;

г) $y = \frac{x^4 + 2x^3}{-2x - x^2}$.

а)

Исходное выражение: $y = \frac{(-x^3)^2}{-x^4}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$-x^4 \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Теперь упростим числитель. Возведем выражение в скобках в квадрат, используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(-x^3)^2 = (-1)^2 \cdot (x^3)^2 = 1 \cdot x^{3 \cdot 2} = x^6$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$y = \frac{x^6}{-x^4}$.

Сократим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$y = -\frac{x^6}{x^4} = -x^{6-4} = -x^2$.

Таким образом, функция упрощается до $y = -x^2$ при условии, что $x \neq 0$.

Ответ: $y = -x^2$.

б)

Исходное выражение: $y = \frac{x^4 - x^2}{x^2 - 1}$.

Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю:

$x^2 - 1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь упростим выражение. Вынесем общий множитель в числителе:

$x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$.

Подставим это в исходную дробь:

$y = \frac{x^2(x^2 - 1)}{x^2 - 1}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x^2 - 1)$, так как он не равен нулю в ОДЗ:

$y = x^2$.

Таким образом, функция упрощается до $y = x^2$ при условии, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Ответ: $y = x^2$.

в)

Исходное выражение: $y = \frac{x^3 + 3x^2}{x + 3}$.

Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю:

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

Теперь упростим выражение. Вынесем общий множитель в числителе:

$x^3 + 3x^2 = x^2(x + 3)$.

Подставим это в исходную дробь:

$y = \frac{x^2(x + 3)}{x + 3}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x + 3)$, так как он не равен нулю в ОДЗ:

$y = x^2$.

Таким образом, функция упрощается до $y = x^2$ при условии, что $x \neq -3$.

Ответ: $y = x^2$.

г)

Исходное выражение: $y = \frac{x^4 + 2x^3}{-2x - x^2}$.

Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю:

$-2x - x^2 \neq 0$.

Вынесем общий множитель в знаменателе:

$-x(2 + x) \neq 0$.

Это означает, что $x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Теперь упростим выражение. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^4 + 2x^3 = x^3(x + 2)$.

Знаменатель: $-2x - x^2 = -x(2 + x) = -x(x+2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$y = \frac{x^3(x + 2)}{-x(x + 2)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x+2)$, так как он не равен нулю в ОДЗ:

$y = \frac{x^3}{-x}$.

Теперь сократим на $x$, так как $x \neq 0$ в ОДЗ:

$y = -x^{3-1} = -x^2$.

Таким образом, функция упрощается до $y = -x^2$ при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Ответ: $y = -x^2$.