Номер 183, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 183, страница 238.

Условие.

183 a) $ \frac{2m - 2n + 3mn - 3n^2}{16m + 54mn^3} $;

Б) $ \frac{8x^2 + 10xy}{4x^2 + 5xy - 4x - 5y} $;

В) $ \frac{a - b + 4ab - 4b^2}{48ab^3 + 3ab + 24ab^2} $;

Г) $ \frac{p^3 + p^2}{3p^2 + 4pq + 3p + 4q} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)

Дана дробь $\frac{2m - 2n + 3mn - 3n^2}{16m + 54mn^3}$.

1. Разложим числитель на множители методом группировки:

$2m - 2n + 3mn - 3n^2 = (2m - 2n) + (3mn - 3n^2) = 2(m - n) + 3n(m - n) = (m - n)(2 + 3n)$.

2. Разложим знаменатель на множители. Сначала вынесем общий множитель $2m$ за скобки:

$16m + 54mn^3 = 2m(8 + 27n^3)$.

Выражение в скобках является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$8 + 27n^3 = 2^3 + (3n)^3 = (2 + 3n)(2^2 - 2 \cdot 3n + (3n)^2) = (2 + 3n)(4 - 6n + 9n^2)$.

Таким образом, знаменатель равен $2m(2 + 3n)(4 - 6n + 9n^2)$.

3. Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{(m - n)(2 + 3n)}{2m(2 + 3n)(4 - 6n + 9n^2)}$

4. Сократим общий множитель $(2 + 3n)$:

$\frac{m - n}{2m(4 - 6n + 9n^2)}$

Ответ: $\frac{m - n}{2m(4 - 6n + 9n^2)}$

б)

Дана дробь $\frac{8x^2 + 10xy}{4x^2 + 5xy - 4x - 5y}$.

1. Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $2x$ за скобки:

$8x^2 + 10xy = 2x(4x + 5y)$.

2. Разложим знаменатель на множители методом группировки:

$4x^2 + 5xy - 4x - 5y = (4x^2 + 5xy) - (4x + 5y) = x(4x + 5y) - 1(4x + 5y) = (x - 1)(4x + 5y)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{2x(4x + 5y)}{(x - 1)(4x + 5y)}$

4. Сократим общий множитель $(4x + 5y)$:

$\frac{2x}{x - 1}$

Ответ: $\frac{2x}{x - 1}$

в)

Дана дробь $\frac{a - b + 4ab - 4b^2}{48ab^3 + 3ab + 24ab^2}$.

1. Разложим числитель на множители методом группировки:

$a - b + 4ab - 4b^2 = (a - b) + (4ab - 4b^2) = (a - b) + 4b(a - b) = (a - b)(1 + 4b)$.

2. Разложим знаменатель на множители. Сначала перегруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $3ab$ за скобки:

$3ab + 24ab^2 + 48ab^3 = 3ab(1 + 8b + 16b^2)$.

Выражение в скобках является полным квадратом. Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$1 + 8b + 16b^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 4b + (4b)^2 = (1 + 4b)^2$.

Таким образом, знаменатель равен $3ab(1 + 4b)^2$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(a - b)(1 + 4b)}{3ab(1 + 4b)^2}$

4. Сократим общий множитель $(1 + 4b)$:

$\frac{a - b}{3ab(1 + 4b)}$

Ответ: $\frac{a - b}{3ab(1 + 4b)}$

г)

Дана дробь $\frac{p^3 + p^2}{3p^2 + 4pq + 3p + 4q}$.

1. Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $p^2$ за скобки:

$p^3 + p^2 = p^2(p + 1)$.

2. Разложим знаменатель на множители методом группировки:

$3p^2 + 4pq + 3p + 4q = (3p^2 + 3p) + (4pq + 4q) = 3p(p + 1) + 4q(p + 1) = (3p + 4q)(p + 1)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{p^2(p + 1)}{(3p + 4q)(p + 1)}$

4. Сократим общий множитель $(p + 1)$:

$\frac{p^2}{3p + 4q}$

Ответ: $\frac{p^2}{3p + 4q}$