Номер 182, страница 238, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Алгебраические преобразования. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 182, страница 238.

Условие.

182 a) $\frac{p - t + 2pt - 2t^2}{1 + 4t + 4t^2}$;

Б) $\frac{m^3 - 1}{4m^2 + 3mn - 4m - 3n}$;

В) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b - ab + b^2}$;

Г) $\frac{6k + 5l + 6k^2 + 5kl}{k^3 + 1}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Для сокращения дроби $\frac{p - t + 2pt - 2t^2}{1 + 4t + 4t^2}$ разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$p - t + 2pt - 2t^2 = (p + 2pt) - (t + 2t^2) = p(1 + 2t) - t(1 + 2t) = (p - t)(1 + 2t)$.
Знаменатель представляет собой полный квадрат суммы:
$1 + 4t + 4t^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2t + (2t)^2 = (1 + 2t)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{(p - t)(1 + 2t)}{(1 + 2t)^2} = \frac{p - t}{1 + 2t}$.
Ответ: $\frac{p - t}{1 + 2t}$

б) Для сокращения дроби $\frac{m^3 - 1}{4m^2 + 3mn - 4m - 3n}$ разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$m^3 - 1 = (m - 1)(m^2 + m \cdot 1 + 1^2) = (m - 1)(m^2 + m + 1)$.
В знаменателе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$4m^2 + 3mn - 4m - 3n = (4m^2 - 4m) + (3mn - 3n) = 4m(m - 1) + 3n(m - 1) = (4m + 3n)(m - 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{(m - 1)(m^2 + m + 1)}{(4m + 3n)(m - 1)} = \frac{m^2 + m + 1}{4m + 3n}$.
Ответ: $\frac{m^2 + m + 1}{4m + 3n}$

в) Для сокращения дроби $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a - b - ab + b^2}$ разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель представляет собой полный квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В знаменателе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$a - b - ab + b^2 = (a - b) - (ab - b^2) = (a - b) - b(a - b) = (a - b)(1 - b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{(a - b)^2}{(a - b)(1 - b)} = \frac{a - b}{1 - b}$.
Ответ: $\frac{a - b}{1 - b}$

г) Для сокращения дроби $\frac{6k + 5l + 6k^2 + 5kl}{k^3 + 1}$ разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$6k + 5l + 6k^2 + 5kl = (6k + 6k^2) + (5l + 5kl) = 6k(1 + k) + 5l(1 + k) = (6k + 5l)(k + 1)$.
В знаменателе применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$k^3 + 1 = (k + 1)(k^2 - k \cdot 1 + 1^2) = (k + 1)(k^2 - k + 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{(6k + 5l)(k + 1)}{(k + 1)(k^2 - k + 1)} = \frac{6k + 5l}{k^2 - k + 1}$.
Ответ: $\frac{6k + 5l}{k^2 - k + 1}$