Номер 177, страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Алгебраические преобразования - номер 177, страница 237.

Условие.

177 a) $ \frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1} $;

б) $ \frac{27a^3 + 8}{2 + 3a} $;

в) $ \frac{9 + 12z + 16z^2}{27 - 64z^3} $;

г) $ \frac{5 + 2m}{125 + 8m^3} $.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)
Чтобы упростить дробь $\frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $8p^3 + 1$ представляет собой сумму кубов, так как его можно записать в виде $(2p)^3 + 1^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Для нашего случая $a = 2p$ и $b = 1$.
$8p^3 + 1 = (2p + 1)((2p)^2 - 2p \cdot 1 + 1^2) = (2p + 1)(4p^2 - 2p + 1)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{4p^2 - 2p + 1}{(2p + 1)(4p^2 - 2p + 1)}$
Сократим дробь на общий множитель $(4p^2 - 2p + 1)$. Этот множитель (неполный квадрат разности) всегда положителен, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = -12 < 0$.
$\frac{\cancel{4p^2 - 2p + 1}}{(2p + 1)(\cancel{4p^2 - 2p + 1})} = \frac{1}{2p + 1}$
Ответ: $\frac{1}{2p + 1}$

б)
Чтобы упростить дробь $\frac{27a^3 + 8}{2 + 3a}$, разложим числитель на множители. Числитель $27a^3 + 8$ представляет собой сумму кубов, так как его можно записать в виде $(3a)^3 + 2^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Для нашего случая $x = 3a$ и $y = 2$.
$27a^3 + 8 = (3a + 2)((3a)^2 - 3a \cdot 2 + 2^2) = (3a + 2)(9a^2 - 6a + 4)$.
Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь:
$\frac{(3a + 2)(9a^2 - 6a + 4)}{2 + 3a}$
Так как в знаменателе стоит выражение $2 + 3a$, которое равно $3a + 2$, мы можем сократить дробь на этот множитель при условии, что он не равен нулю ($a \neq -\frac{2}{3}$).
$\frac{\cancel{(3a + 2)}(9a^2 - 6a + 4)}{\cancel{2 + 3a}} = 9a^2 - 6a + 4$
Ответ: $9a^2 - 6a + 4$

в)
Чтобы упростить дробь $\frac{9 + 12z + 16z^2}{27 - 64z^3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $27 - 64z^3$ представляет собой разность кубов, так как его можно записать в виде $3^3 - (4z)^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Для нашего случая $a = 3$ и $b = 4z$.
$27 - 64z^3 = (3 - 4z)(3^2 + 3 \cdot 4z + (4z)^2) = (3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{9 + 12z + 16z^2}{(3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(9 + 12z + 16z^2)$. Этот множитель (неполный квадрат суммы) всегда положителен, так как его дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 144 - 576 = -432 < 0$.
$\frac{\cancel{9 + 12z + 16z^2}}{(3 - 4z)(\cancel{9 + 12z + 16z^2})} = \frac{1}{3 - 4z}$
Ответ: $\frac{1}{3 - 4z}$

г)
Чтобы упростить дробь $\frac{5 + 2m}{125 + 8m^3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $125 + 8m^3$ представляет собой сумму кубов, так как его можно записать в виде $5^3 + (2m)^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Для нашего случая $x = 5$ и $y = 2m$.
$125 + 8m^3 = (5 + 2m)(5^2 - 5 \cdot 2m + (2m)^2) = (5 + 2m)(25 - 10m + 4m^2)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{5 + 2m}{(5 + 2m)(25 - 10m + 4m^2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(5 + 2m)$ при условии, что он не равен нулю ($m \neq -\frac{5}{2}$).
$\frac{\cancel{5 + 2m}}{(\cancel{5 + 2m})(25 - 10m + 4m^2)} = \frac{1}{25 - 10m + 4m^2}$
Ответ: $\frac{1}{25 - 10m + 4m^2}$