Страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

172 Вычислите наиболее рациональным способом:

а) $\frac{910}{137^2 - 123^2}$;

б) $\frac{274^2 - 34^2}{960}$;

в) $\frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2}$;

г) $\frac{14400}{324^2 - 36^2}$.

а) Для вычисления этого выражения наиболее рационально применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к знаменателю дроби. Знаменатель $137^2 - 123^2$ можно разложить на множители:

$137^2 - 123^2 = (137 - 123)(137 + 123)$

Вычислим значения в скобках:

$137 - 123 = 14$

$137 + 123 = 260$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$\frac{910}{137^2 - 123^2} = \frac{910}{14 \times 260}$

Сократим дробь. Заметим, что $910 = 91 \times 10$ и $260 = 26 \times 10$. Также $91 = 7 \times 13$ и $14 = 2 \times 7$, а $26 = 2 \times 13$.

$\frac{910}{14 \times 260} = \frac{91 \times 10}{14 \times 26 \times 10} = \frac{91}{14 \times 26} = \frac{7 \times 13}{(2 \times 7) \times (2 \times 13)} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) В числителе дроби применим ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\frac{274^2 - 34^2}{960} = \frac{(274 - 34)(274 + 34)}{960}$

Вычислим значения в скобках:

$274 - 34 = 240$

$274 + 34 = 308$

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{240 \times 308}{960}$

Сократим дробь, заметив, что $960 = 4 \times 240$:

$\frac{240 \times 308}{4 \times 240} = \frac{308}{4} = 77$

Ответ: $77$

в) В этом примере формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ применяется как к числителю, так и к знаменателю дроби.

Преобразуем числитель: $53^2 - 27^2 = (53 - 27)(53 + 27) = 26 \times 80$.

Преобразуем знаменатель: $79^2 - 51^2 = (79 - 51)(79 + 51) = 28 \times 130$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{53^2 - 27^2}{79^2 - 51^2} = \frac{26 \times 80}{28 \times 130}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{26 \times 80}{28 \times 130} = \frac{26}{130} \times \frac{80}{28} = \frac{2 \times 13}{10 \times 13} \times \frac{20 \times 4}{7 \times 4} = \frac{2}{10} \times \frac{20}{7} = \frac{1}{5} \times \frac{20}{7} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$

Ответ: $\frac{4}{7}$

г) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к знаменателю.

$\frac{14400}{324^2 - 36^2} = \frac{14400}{(324 - 36)(324 + 36)}$

Вычислим значения в скобках:

$324 - 36 = 288$

$324 + 36 = 360$

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{14400}{288 \times 360}$

Сократим дробь. Удобно заметить, что $14400 = 144 \times 100$ и $288 = 2 \times 144$.

$\frac{144 \times 100}{(2 \times 144) \times 360} = \frac{100}{2 \times 360} = \frac{100}{720} = \frac{10}{72}$

Сократим последнюю дробь на 2:

$\frac{10 \div 2}{72 \div 2} = \frac{5}{36}$

Ответ: $\frac{5}{36}$

173 Сократите дробь:

a) $\frac{16a^2b^3c}{12a^3b^2c^4}$;

б) $\frac{8mn^3p}{24m^2n^3p^3}$;

в) $\frac{21x^5yz^6}{14x^4y^2z^6}$;

г) $\frac{15p^2q^3r^3}{5p^2q^2r}$.

а) $\frac{16a^2b^3c}{12a^3b^2c^4}$

Для сокращения дроби необходимо разделить числитель и знаменатель на их общие множители. Проведем сокращение по частям: сначала для числовых коэффициентов, затем для каждой переменной.

1. Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{16}{12}$. Наибольший общий делитель чисел 16 и 12 равен 4.
$\frac{16}{12} = \frac{16 \div 4}{12 \div 4} = \frac{4}{3}$

2. Сокращаем степени переменных, используя правило $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной $a$: $\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$

Для переменной $b$: $\frac{b^3}{b^2} = b^{3-2} = b^1 = b$

Для переменной $c$: $\frac{c^1}{c^4} = c^{1-4} = c^{-3} = \frac{1}{c^3}$

3. Собираем все части вместе, перемножая полученные результаты:

$\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot b \cdot \frac{1}{c^3} = \frac{4b}{3ac^3}$

Ответ: $\frac{4b}{3ac^3}$

б) $\frac{8mn^3p}{24m^2n^3p^3}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители.

1. Коэффициенты: $\frac{8}{24} = \frac{8 \div 8}{24 \div 8} = \frac{1}{3}$.

2. Переменные:

Для $m$: $\frac{m}{m^2} = m^{1-2} = m^{-1} = \frac{1}{m}$

Для $n$: $\frac{n^3}{n^3} = n^{3-3} = n^0 = 1$

Для $p$: $\frac{p}{p^3} = p^{1-3} = p^{-2} = \frac{1}{p^2}$

3. Перемножаем полученные части:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{m} \cdot 1 \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{3mp^2}$

Ответ: $\frac{1}{3mp^2}$

в) $\frac{21x^5yz^6}{14x^4y^2z^6}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители.

1. Коэффициенты: $\frac{21}{14}$. Наибольший общий делитель равен 7.
$\frac{21 \div 7}{14 \div 7} = \frac{3}{2}$.

2. Переменные:

Для $x$: $\frac{x^5}{x^4} = x^{5-4} = x^1 = x$

Для $y$: $\frac{y}{y^2} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}$

Для $z$: $\frac{z^6}{z^6} = z^{6-6} = z^0 = 1$

3. Перемножаем полученные части:

$\frac{3}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{y} \cdot 1 = \frac{3x}{2y}$

Ответ: $\frac{3x}{2y}$

г) $\frac{15p^2q^3r^3}{5p^2q^2r}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители.

1. Коэффициенты: $\frac{15}{5} = 3$.

2. Переменные:

Для $p$: $\frac{p^2}{p^2} = p^{2-2} = p^0 = 1$

Для $q$: $\frac{q^3}{q^2} = q^{3-2} = q^1 = q$

Для $r$: $\frac{r^3}{r^1} = r^{3-1} = r^2$

3. Перемножаем полученные части:

$3 \cdot 1 \cdot q \cdot r^2 = 3qr^2$

Ответ: $3qr^2$

174 а) $ \frac{a^2 + a}{a^3 + a^2} $

б) $ \frac{3p + 6q}{p^2 + 2pq} $

В) $ \frac{8m - 8n}{9n - 9m} $

Г) $ \frac{3x^3 + 3xy^2}{6yx^2 + 6y^3} $

а) Для сокращения дроби $ \frac{a^2 + a}{a^3 + a^2} $ необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель $a$:
$a^2 + a = a(a+1)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^2$:
$a^3 + a^2 = a^2(a+1)$.
Теперь исходная дробь имеет вид:
$ \frac{a(a+1)}{a^2(a+1)} $
Сокращаем дробь на общий множитель $a(a+1)$. В результате получаем:
$ \frac{1}{a} $
Ответ: $ \frac{1}{a} $

б) Для сокращения дроби $ \frac{3p + 6q}{p^2 + 2pq} $ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель 3:
$3p + 6q = 3(p + 2q)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $p$:
$p^2 + 2pq = p(p + 2q)$.
Теперь исходная дробь имеет вид:
$ \frac{3(p + 2q)}{p(p + 2q)} $
Сокращаем дробь на общий множитель $(p + 2q)$. В результате получаем:
$ \frac{3}{p} $
Ответ: $ \frac{3}{p} $

в) Для сокращения дроби $ \frac{8m - 8n}{9n - 9m} $ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель 8:
$8m - 8n = 8(m - n)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 9:
$9n - 9m = 9(n - m)$.
Заметим, что $n - m = -(m - n)$. Поэтому знаменатель можно переписать как:
$9(n - m) = -9(m - n)$.
Теперь исходная дробь имеет вид:
$ \frac{8(m - n)}{-9(m - n)} $
Сокращаем дробь на общий множитель $(m - n)$. В результате получаем:
$ \frac{8}{-9} = -\frac{8}{9} $
Ответ: $ -\frac{8}{9} $

г) Для сокращения дроби $ \frac{3x^3 + 3xy^2}{6yx^2 + 6y^3} $ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель $3x$:
$3x^3 + 3xy^2 = 3x(x^2 + y^2)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $6y$:
$6yx^2 + 6y^3 = 6y(x^2 + y^2)$.
Теперь исходная дробь имеет вид:
$ \frac{3x(x^2 + y^2)}{6y(x^2 + y^2)} $
Сокращаем дробь на общий множитель $3(x^2 + y^2)$. В результате получаем:
$ \frac{x}{2y} $
Ответ: $ \frac{x}{2y} $

175 а) $\frac{a^2 + 4a + 4}{a + 2};$

б) $\frac{3n - m}{9n^2 - 6nm + m^2};$

В) $\frac{k^2 - 8k + 16}{k - 4};$

Г) $\frac{p - 2q}{p^2 - 4pq + 4q^2}.$

а) Чтобы упростить дробь $ \frac{a^2 + 4a + 4}{a + 2} $, заметим, что числитель представляет собой полный квадрат суммы. Используем формулу сокращенного умножения: $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $.
В нашем случае $ x=a $ и $ y=2 $, поэтому числитель можно записать как $ a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a+2)^2 $.
Теперь подставим это в исходную дробь:
$ \frac{(a+2)^2}{a+2} $
Сократим дробь на общий множитель $ (a+2) $, при условии, что $ a+2 \neq 0 $, то есть $ a \neq -2 $.
$ \frac{(a+2)^2}{a+2} = a+2 $
Ответ: $ a+2 $

б) Рассмотрим дробь $ \frac{3n - m}{9n^2 - 6nm + m^2} $. Знаменатель этой дроби является полным квадратом разности. Применим формулу сокращенного умножения: $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.
В данном случае $ x=3n $ и $ y=m $, поэтому знаменатель можно представить в виде $ (3n)^2 - 2 \cdot 3n \cdot m + m^2 = (3n-m)^2 $.
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$ \frac{3n - m}{(3n-m)^2} $
Сократим дробь на общий множитель $ (3n-m) $, при условии, что $ 3n-m \neq 0 $.
$ \frac{3n - m}{(3n-m)^2} = \frac{1}{3n-m} $
Ответ: $ \frac{1}{3n-m} $

в) Упростим выражение $ \frac{k^2 - 8k + 16}{k - 4} $. Числитель дроби $ k^2 - 8k + 16 $ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.
Здесь $ x=k $ и $ y=4 $, тогда числитель равен $ k^2 - 2 \cdot k \cdot 4 + 4^2 = (k-4)^2 $.
Запишем дробь с новым числителем:
$ \frac{(k-4)^2}{k-4} $
Сократим дробь на $ (k-4) $, при условии, что $ k-4 \neq 0 $, то есть $ k \neq 4 $.
$ \frac{(k-4)^2}{k-4} = k-4 $
Ответ: $ k-4 $

г) Рассмотрим дробь $ \frac{p - 2q}{p^2 - 4pq + 4q^2} $. Знаменатель $ p^2 - 4pq + 4q^2 $ является полным квадратом разности. Применим формулу $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.
В нашем случае $ x=p $ и $ y=2q $. Тогда знаменатель можно записать как $ p^2 - 2 \cdot p \cdot (2q) + (2q)^2 = (p-2q)^2 $.
Подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:
$ \frac{p - 2q}{(p-2q)^2} $
Сократим дробь на общий множитель $ (p-2q) $, при условии, что $ p-2q \neq 0 $.
$ \frac{p - 2q}{(p-2q)^2} = \frac{1}{p-2q} $
Ответ: $ \frac{1}{p-2q} $

176 a) $\frac{b^2 - 25}{b + 5}$;

б) $\frac{2m - 3}{4m^2 - 9}$;

в) $\frac{t^2 - 36}{6 + t}$;

г) $\frac{5k - 2l}{25k^2 - 4l^2}$.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{b^2 - 25}{b + 5}$, необходимо разложить числитель на множители. Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Применим эту формулу к числителю $b^2 - 25 = b^2 - 5^2$:
$b^2 - 5^2 = (b - 5)(b + 5)$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{(b - 5)(b + 5)}{b + 5}$.
Сократим общий множитель $(b + 5)$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $b + 5 \neq 0$, то есть $b \neq -5$.
$\frac{(b - 5)\cancel{(b + 5)}}{\cancel{b + 5}} = b - 5$.
Ответ: $b - 5$.

б) Чтобы упростить дробь $\frac{2m - 3}{4m^2 - 9}$, разложим на множители знаменатель. Знаменатель $4m^2 - 9$ является разностью квадратов, так как $4m^2 = (2m)^2$ и $9 = 3^2$.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$4m^2 - 9 = (2m)^2 - 3^2 = (2m - 3)(2m + 3)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{2m - 3}{(2m - 3)(2m + 3)}$.
Сократим общий множитель $(2m - 3)$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $2m - 3 \neq 0$, то есть $m \neq \frac{3}{2}$.
$\frac{\cancel{2m - 3}}{(\cancel{2m - 3})(2m + 3)} = \frac{1}{2m + 3}$.
Ответ: $\frac{1}{2m + 3}$.

в) Чтобы упростить дробь $\frac{t^2 - 36}{6 + t}$, разложим числитель на множители. Числитель $t^2 - 36$ — это разность квадратов $t^2 - 6^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$t^2 - 36 = (t - 6)(t + 6)$.
Подставим полученное выражение в дробь. Заметим, что выражение в знаменателе $6 + t$ равно $t + 6$.
$\frac{(t - 6)(t + 6)}{t + 6}$.
Сократим общий множитель $(t + 6)$. Это возможно при условии, что $t + 6 \neq 0$, то есть $t \neq -6$.
$\frac{(t - 6)\cancel{(t + 6)}}{\cancel{t + 6}} = t - 6$.
Ответ: $t - 6$.

г) Чтобы упростить дробь $\frac{5k - 2l}{25k^2 - 4l^2}$, разложим на множители знаменатель. Знаменатель $25k^2 - 4l^2$ является разностью квадратов, так как $25k^2 = (5k)^2$ и $4l^2 = (2l)^2$.
Используем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$25k^2 - 4l^2 = (5k)^2 - (2l)^2 = (5k - 2l)(5k + 2l)$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{5k - 2l}{(5k - 2l)(5k + 2l)}$.
Сократим общий множитель $(5k - 2l)$. Это возможно при условии, что $5k - 2l \neq 0$.
$\frac{\cancel{5k - 2l}}{(\cancel{5k - 2l})(5k + 2l)} = \frac{1}{5k + 2l}$.
Ответ: $\frac{1}{5k + 2l}$.

177 a) $ \frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1} $;

б) $ \frac{27a^3 + 8}{2 + 3a} $;

в) $ \frac{9 + 12z + 16z^2}{27 - 64z^3} $;

г) $ \frac{5 + 2m}{125 + 8m^3} $.

а)
Чтобы упростить дробь $\frac{4p^2 - 2p + 1}{8p^3 + 1}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $8p^3 + 1$ представляет собой сумму кубов, так как его можно записать в виде $(2p)^3 + 1^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Для нашего случая $a = 2p$ и $b = 1$.
$8p^3 + 1 = (2p + 1)((2p)^2 - 2p \cdot 1 + 1^2) = (2p + 1)(4p^2 - 2p + 1)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{4p^2 - 2p + 1}{(2p + 1)(4p^2 - 2p + 1)}$
Сократим дробь на общий множитель $(4p^2 - 2p + 1)$. Этот множитель (неполный квадрат разности) всегда положителен, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = -12 < 0$.
$\frac{\cancel{4p^2 - 2p + 1}}{(2p + 1)(\cancel{4p^2 - 2p + 1})} = \frac{1}{2p + 1}$
Ответ: $\frac{1}{2p + 1}$

б)
Чтобы упростить дробь $\frac{27a^3 + 8}{2 + 3a}$, разложим числитель на множители. Числитель $27a^3 + 8$ представляет собой сумму кубов, так как его можно записать в виде $(3a)^3 + 2^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Для нашего случая $x = 3a$ и $y = 2$.
$27a^3 + 8 = (3a + 2)((3a)^2 - 3a \cdot 2 + 2^2) = (3a + 2)(9a^2 - 6a + 4)$.
Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь:
$\frac{(3a + 2)(9a^2 - 6a + 4)}{2 + 3a}$
Так как в знаменателе стоит выражение $2 + 3a$, которое равно $3a + 2$, мы можем сократить дробь на этот множитель при условии, что он не равен нулю ($a \neq -\frac{2}{3}$).
$\frac{\cancel{(3a + 2)}(9a^2 - 6a + 4)}{\cancel{2 + 3a}} = 9a^2 - 6a + 4$
Ответ: $9a^2 - 6a + 4$

в)
Чтобы упростить дробь $\frac{9 + 12z + 16z^2}{27 - 64z^3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $27 - 64z^3$ представляет собой разность кубов, так как его можно записать в виде $3^3 - (4z)^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
Для нашего случая $a = 3$ и $b = 4z$.
$27 - 64z^3 = (3 - 4z)(3^2 + 3 \cdot 4z + (4z)^2) = (3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{9 + 12z + 16z^2}{(3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(9 + 12z + 16z^2)$. Этот множитель (неполный квадрат суммы) всегда положителен, так как его дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 16 \cdot 9 = 144 - 576 = -432 < 0$.
$\frac{\cancel{9 + 12z + 16z^2}}{(3 - 4z)(\cancel{9 + 12z + 16z^2})} = \frac{1}{3 - 4z}$
Ответ: $\frac{1}{3 - 4z}$

г)
Чтобы упростить дробь $\frac{5 + 2m}{125 + 8m^3}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $125 + 8m^3$ представляет собой сумму кубов, так как его можно записать в виде $5^3 + (2m)^3$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Для нашего случая $x = 5$ и $y = 2m$.
$125 + 8m^3 = (5 + 2m)(5^2 - 5 \cdot 2m + (2m)^2) = (5 + 2m)(25 - 10m + 4m^2)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь:
$\frac{5 + 2m}{(5 + 2m)(25 - 10m + 4m^2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(5 + 2m)$ при условии, что он не равен нулю ($m \neq -\frac{5}{2}$).
$\frac{\cancel{5 + 2m}}{(\cancel{5 + 2m})(25 - 10m + 4m^2)} = \frac{1}{25 - 10m + 4m^2}$
Ответ: $\frac{1}{25 - 10m + 4m^2}$

178 a) $\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}$;

б) $\frac{16a^2 - 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2}$;

в) $\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2}$;

г) $\frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 - 36t^2}$.

а)

Чтобы упростить дробь $\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}$, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $9x^2 - 6x + 1$ является полным квадратом разности. Используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a^2 = 9x^2$, следовательно, $a = 3x$. $b^2 = 1$, следовательно, $b = 1$. Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot 3x \cdot 1 = -6x$. Формула верна.

Таким образом, числитель можно записать как $(3x - 1)^2$.

Знаменатель $9x^2 - 1$ является разностью квадратов. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a^2 = 9x^2$, значит $a = 3x$, и $b^2 = 1$, значит $b = 1$.

Таким образом, знаменатель можно записать как $(3x - 1)(3x + 1)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1} = \frac{(3x - 1)^2}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{(3x - 1)\cdot\cancel{(3x - 1)}}{\cancel{(3x - 1)}\cdot(3x + 1)} = \frac{3x - 1}{3x + 1}$.

Ответ: $\frac{3x - 1}{3x + 1}$

б)

Упростим дробь $\frac{16a^2 - 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2}$.

Числитель $16a^2 - 25b^2$ — это разность квадратов вида $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Здесь $x^2 = 16a^2 \implies x = 4a$ и $y^2 = 25b^2 \implies y = 5b$.

Значит, числитель раскладывается на множители как $(4a - 5b)(4a + 5b)$.

Знаменатель $16a^2 + 40ab + 25b^2$ — это полный квадрат суммы вида $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x^2 = 16a^2 \implies x = 4a$ и $y^2 = 25b^2 \implies y = 5b$. Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot 4a \cdot 5b = 40ab$. Формула верна.

Значит, знаменатель равен $(4a + 5b)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$\frac{16a^2 - 25b^2}{16a^2 + 40ab + 25b^2} = \frac{(4a - 5b)(4a + 5b)}{(4a + 5b)^2} = \frac{(4a - 5b)\cdot\cancel{(4a + 5b)}}{(4a + 5b)\cdot\cancel{(4a + 5b)}} = \frac{4a - 5b}{4a + 5b}$.

Ответ: $\frac{4a - 5b}{4a + 5b}$

в)

Упростим дробь $\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2}$.

Числитель $4m^2 - 9n^2$ является разностью квадратов. По формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 2m$ и $b = 3n$, получаем:

$4m^2 - 9n^2 = (2m - 3n)(2m + 3n)$.

Знаменатель $9n^2 - 12mn + 4m^2$ является полным квадратом разности. Для удобства переставим слагаемые: $4m^2 - 12mn + 9n^2$. По формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2m$ и $b = 3n$, получаем:

$4m^2 - 12mn + 9n^2 = (2m - 3n)^2$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:

$\frac{4m^2 - 9n^2}{9n^2 - 12mn + 4m^2} = \frac{(2m - 3n)(2m + 3n)}{(2m - 3n)^2} = \frac{\cancel{(2m - 3n)}\cdot(2m + 3n)}{(2m - 3n)\cdot\cancel{(2m - 3n)}} = \frac{2m + 3n}{2m - 3n}$.

Ответ: $\frac{2m + 3n}{2m - 3n}$

г)

Упростим дробь $\frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 - 36t^2}$.

Числитель $36t^2 + 12st + s^2$ является полным квадратом суммы. Перепишем его в стандартном виде: $s^2 + 12st + 36t^2$. По формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = s$ и $b = 6t$, получаем:

$s^2 + 12st + 36t^2 = (s + 6t)^2$.

Знаменатель $s^2 - 36t^2$ является разностью квадратов. По формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = s$ и $b = 6t$, получаем:

$s^2 - 36t^2 = (s - 6t)(s + 6t)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:

$\frac{36t^2 + 12st + s^2}{s^2 - 36t^2} = \frac{(s + 6t)^2}{(s - 6t)(s + 6t)} = \frac{(s + 6t)\cdot\cancel{(s + 6t)}}{(s - 6t)\cdot\cancel{(s + 6t)}} = \frac{s + 6t}{s - 6t}$.

Ответ: $\frac{s + 6t}{s - 6t}$

179 a) $\frac{25x^2 - 20xy + 4y^2}{10xy - 4y^2}$;

Б) $\frac{8s^3 - 27t^3}{12s^3 + 18s^2t + 27st^2}$;

В) $\frac{18ab^2 - 3b^3}{36a^2 - 12ab + b^2}$;

Г) $\frac{9k^2 + 27kl}{k^3 + 27l^3}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{25x^2 - 20xy + 4y^2}{10xy - 4y^2}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
Числитель $25x^2 - 20xy + 4y^2$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Здесь $a=5x$ и $b=2y$, поэтому:
$25x^2 - 20xy + 4y^2 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot (2y) + (2y)^2 = (5x - 2y)^2$.
В знаменателе $10xy - 4y^2$ вынесем за скобки общий множитель $2y$:
$10xy - 4y^2 = 2y(5x - 2y)$.
Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим ее:
$\frac{(5x - 2y)^2}{2y(5x - 2y)} = \frac{5x - 2y}{2y}$.
Ответ: $\frac{5x - 2y}{2y}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{8s^3 - 27t^3}{12s^3 + 18s^2t + 27st^2}$.
Числитель $8s^3 - 27t^3$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном случае $a=2s$ и $b=3t$:
$8s^3 - 27t^3 = (2s)^3 - (3t)^3 = (2s - 3t)((2s)^2 + (2s)(3t) + (3t)^2) = (2s - 3t)(4s^2 + 6st + 9t^2)$.
В знаменателе $12s^3 + 18s^2t + 27st^2$ вынесем за скобки общий множитель $3s$:
$12s^3 + 18s^2t + 27st^2 = 3s(4s^2 + 6st + 9t^2)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:
$\frac{(2s - 3t)(4s^2 + 6st + 9t^2)}{3s(4s^2 + 6st + 9t^2)} = \frac{2s - 3t}{3s}$.
Ответ: $\frac{2s - 3t}{3s}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{18ab^2 - 3b^3}{36a^2 - 12ab + b^2}$.
В числителе $18ab^2 - 3b^3$ вынесем за скобки общий множитель $3b^2$:
$18ab^2 - 3b^3 = 3b^2(6a - b)$.
Знаменатель $36a^2 - 12ab + b^2$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Здесь $x=6a$ и $y=b$:
$36a^2 - 12ab + b^2 = (6a)^2 - 2 \cdot (6a) \cdot b + b^2 = (6a - b)^2$.
Подставим полученные выражения в дробь и сократим:
$\frac{3b^2(6a - b)}{(6a - b)^2} = \frac{3b^2}{6a - b}$.
Ответ: $\frac{3b^2}{6a - b}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{9k^2 + 27kl}{k^3 + 27l^3}$.
В числителе $9k^2 + 27kl$ вынесем за скобки общий множитель $9k$:
$9k^2 + 27kl = 9k(k + 3l)$.
Знаменатель $k^3 + 27l^3$ является суммой кубов. Применим формулу $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае $a=k$ и $b=3l$:
$k^3 + 27l^3 = k^3 + (3l)^3 = (k + 3l)(k^2 - k \cdot 3l + (3l)^2) = (k + 3l)(k^2 - 3kl + 9l^2)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим на общий множитель $(k + 3l)$:
$\frac{9k(k + 3l)}{(k + 3l)(k^2 - 3kl + 9l^2)} = \frac{9k}{k^2 - 3kl + 9l^2}$.
Ответ: $\frac{9k}{k^2 - 3kl + 9l^2}$

180 а) $\frac{16a^2 - 8ab + b^2}{64a^3 - b^3}$

б) $\frac{8p^3 + 27q^3}{4p^2 + 12pq + 9q^2}$

в) $\frac{125x^3 - y^3}{25x^2 - 10xy + y^2}$

г) $\frac{27n^3 + 64m^3}{9n^2 + 24mn + 16m^2}$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{16a^2 - 8ab + b^2}{64a^3 - b^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $16a^2 - 8ab + b^2$ представляет собой полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$16a^2 - 8ab + b^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot b + b^2 = (4a - b)^2$.
Знаменатель $64a^3 - b^3$ является разностью кубов, которая раскладывается по формуле $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
$64a^3 - b^3 = (4a)^3 - b^3 = (4a - b)((4a)^2 + 4a \cdot b + b^2) = (4a - b)(16a^2 + 4ab + b^2)$.
Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{(4a - b)^2}{(4a - b)(16a^2 + 4ab + b^2)} = \frac{4a - b}{16a^2 + 4ab + b^2}$.
Ответ: $\frac{4a - b}{16a^2 + 4ab + b^2}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{8p^3 + 27q^3}{4p^2 + 12pq + 9q^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $8p^3 + 27q^3$ является суммой кубов, которая раскладывается по формуле $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
$8p^3 + 27q^3 = (2p)^3 + (3q)^3 = (2p + 3q)((2p)^2 - 2p \cdot 3q + (3q)^2) = (2p + 3q)(4p^2 - 6pq + 9q^2)$.
Знаменатель $4p^2 + 12pq + 9q^2$ представляет собой полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$4p^2 + 12pq + 9q^2 = (2p)^2 + 2 \cdot 2p \cdot 3q + (3q)^2 = (2p + 3q)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{(2p + 3q)(4p^2 - 6pq + 9q^2)}{(2p + 3q)^2} = \frac{4p^2 - 6pq + 9q^2}{2p + 3q}$.
Ответ: $\frac{4p^2 - 6pq + 9q^2}{2p + 3q}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{125x^3 - y^3}{25x^2 - 10xy + y^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $125x^3 - y^3$ является разностью кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
$125x^3 - y^3 = (5x)^3 - y^3 = (5x - y)((5x)^2 + 5x \cdot y + y^2) = (5x - y)(25x^2 + 5xy + y^2)$.
Знаменатель $25x^2 - 10xy + y^2$ представляет собой полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$25x^2 - 10xy + y^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot y + y^2 = (5x - y)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{(5x - y)(25x^2 + 5xy + y^2)}{(5x - y)^2} = \frac{25x^2 + 5xy + y^2}{5x - y}$.
Ответ: $\frac{25x^2 + 5xy + y^2}{5x - y}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{27n^3 + 64m^3}{9n^2 + 24mn + 16m^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $27n^3 + 64m^3$ является суммой кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
$27n^3 + 64m^3 = (3n)^3 + (4m)^3 = (3n + 4m)((3n)^2 - 3n \cdot 4m + (4m)^2) = (3n + 4m)(9n^2 - 12mn + 16m^2)$.
Знаменатель $9n^2 + 24mn + 16m^2$ представляет собой полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$9n^2 + 24mn + 16m^2 = (3n)^2 + 2 \cdot 3n \cdot 4m + (4m)^2 = (3n + 4m)^2$.
Теперь подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{(3n + 4m)(9n^2 - 12mn + 16m^2)}{(3n + 4m)^2} = \frac{9n^2 - 12mn + 16m^2}{3n + 4m}$.
Ответ: $\frac{9n^2 - 12mn + 16m^2}{3n + 4m}$.