Страница 230, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

94 Теплоход против течения реки проплывает 96 км за 4 ч, а по течению реки 90 км за 3 ч. Найдите собственную скорость теплохода.

Для решения задачи обозначим собственную скорость теплохода (скорость в стоячей воде) как $v_{соб}$, а скорость течения реки как $v_{теч}$.

Когда теплоход движется против течения, его скорость уменьшается на величину скорости течения. Скорость теплохода против течения равна $v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$. По условию, теплоход проплывает 96 км за 4 часа. Найдем его скорость против течения, используя формулу скорости $v = \frac{s}{t}$ (где $s$ - расстояние, $t$ - время):
$v_{против} = \frac{96 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 24 \text{ км/ч}$.
Следовательно, мы можем составить первое уравнение: $v_{соб} - v_{теч} = 24$.

Когда теплоход движется по течению, его скорость увеличивается на величину скорости течения. Скорость теплохода по течению равна $v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$. По условию, теплоход проплывает 90 км за 3 часа. Найдем его скорость по течению:
$v_{по} = \frac{90 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 30 \text{ км/ч}$.
Следовательно, мы можем составить второе уравнение: $v_{соб} + v_{теч} = 30$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases}v_{соб} - v_{теч} = 24 \\v_{соб} + v_{теч} = 30\end{cases}$
Для того чтобы найти собственную скорость теплохода ($v_{соб}$), можно сложить оба уравнения. При этом переменная $v_{теч}$ сократится:
$(v_{соб} - v_{теч}) + (v_{соб} + v_{теч}) = 24 + 30$
$2 \cdot v_{соб} = 54$
$v_{соб} = \frac{54}{2}$
$v_{соб} = 27 \text{ км/ч}$.

Ответ: 27 км/ч.

95 По течению реки катер проходит 28 км за 1 ч 20 мин, а против течения — 24 км за 1,5 ч. Найдите скорость течения реки.

Пусть $v_c$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) в км/ч, а $v_т$ — скорость течения реки в км/ч.

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения и равна $v_c + v_т$.Когда катер движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения и равна $v_c - v_т$.

1. Найдем скорость катера по течению реки.

Катер проходит расстояние $S_1 = 28$ км за время $t_1 = 1$ ч $20$ мин.Для расчетов необходимо перевести время в часы. Так как в 1 часе 60 минут, то $20$ мин = $\frac{20}{60}$ ч = $\frac{1}{3}$ ч.Следовательно, $t_1 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ часа.

Скорость по течению ($v_{по}$) найдем по формуле $v = S/t$:$v_{по} = v_c + v_т = \frac{28 \text{ км}}{\frac{4}{3} \text{ ч}} = 28 \cdot \frac{3}{4} = 7 \cdot 3 = 21$ км/ч.

2. Найдем скорость катера против течения реки.

Катер проходит расстояние $S_2 = 24$ км за время $t_2 = 1,5$ ч.

Скорость против течения ($v_{против}$) равна:$v_{против} = v_c - v_т = \frac{24 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = \frac{24}{\frac{3}{2}} = 24 \cdot \frac{2}{3} = 8 \cdot 2 = 16$ км/ч.

3. Найдем скорость течения реки.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$\begin{cases}v_c + v_т = 21 \\v_c - v_т = 16\end{cases}$

Чтобы найти скорость течения $v_т$, можно вычесть второе уравнение из первого:$(v_c + v_т) - (v_c - v_т) = 21 - 16$
$v_c + v_т - v_c + v_т = 5$
$2v_т = 5$
$v_т = \frac{5}{2} = 2,5$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки равна 2,5 км/ч.

96 Ночью от берега, на котором был расположен лагерь туристов, унесло плот. Спустя 6,5 ч, утром, туристы на моторной лодке отправились за ним вдогонку и через 1,5 ч увидели плот на расстоянии 0,5 км впереди. Найдите скорость, с которой туристы догоняли плот, если в обратную сторону они на этой моторной лодке преодолели 20 км за 2,5 ч.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_л$ – собственная скорость моторной лодки (в км/ч), $v_т$ – скорость течения реки (в км/ч). Скорость плота равна скорости течения реки, так как у него нет собственного двигателя, то есть $v_{плота} = v_т$. Когда туристы догоняли плот, они двигались по течению, и их скорость была равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{по} = v_л + v_т$. На обратном пути туристы двигались против течения, и их скорость была равна разности собственной скорости лодки и скорости течения: $v_{против} = v_л - v_т$.

1. Нахождение скорости лодки против течения

По условию, в обратную сторону (против течения) туристы преодолели 20 км за 2,5 часа. Следовательно, их скорость против течения равна:

$v_{против} = \frac{S}{t} = \frac{20 \text{ км}}{2.5 \text{ ч}} = 8 \text{ км/ч}$

Таким образом, мы получаем первое уравнение: $v_л - v_т = 8$.

2. Составление уравнения движения вдогонку

Плот плыл один в течение 6,5 часов, после чего туристы отправились за ним в погоню, которая длилась 1,5 часа. Следовательно, общее время движения плота к моменту, когда его заметили, составляет:

$t_{плота} = 6.5 \text{ ч} + 1.5 \text{ ч} = 8 \text{ ч}$

За это время плот проплыл расстояние: $S_{плота} = v_т \cdot t_{плота} = 8v_т$.

Лодка за 1,5 часа погони, двигаясь по течению со скоростью $v_л + v_т$, прошла расстояние: $S_{лодки} = (v_л + v_т) \cdot 1.5$.

По условию, в этот момент плот был впереди лодки на 0,5 км. Это означает, что расстояние, пройденное плотом, на 0,5 км больше расстояния, пройденного лодкой: $S_{плота} = S_{лодки} + 0.5$.

Подставив выражения для расстояний, получим второе уравнение: $8v_т = 1.5(v_л + v_т) + 0.5$.

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $v_л - v_т = 8$

2) $8v_т = 1.5(v_л + v_т) + 0.5$

Из первого уравнения выразим $v_л$: $v_л = 8 + v_т$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$8v_т = 1.5((8 + v_т) + v_т) + 0.5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $v_т$:

$8v_т = 1.5(8 + 2v_т) + 0.5$

$8v_т = 12 + 3v_т + 0.5$

$8v_т - 3v_т = 12.5$

$5v_т = 12.5$

$v_т = \frac{12.5}{5} = 2.5 \text{ км/ч}$

Таким образом, скорость течения реки (и плота) равна 2,5 км/ч.

4. Нахождение искомой скорости

В задаче требуется найти скорость, с которой туристы догоняли плот. Это и есть скорость лодки по течению, равная $v_{по} = v_л + v_т$.

Сначала найдем собственную скорость лодки $v_л$, используя первое уравнение и найденное значение $v_т$:

$v_л = 8 + v_т = 8 + 2.5 = 10.5 \text{ км/ч}$

Теперь можем вычислить скорость лодки по течению:

$v_{по} = v_л + v_т = 10.5 \text{ км/ч} + 2.5 \text{ км/ч} = 13 \text{ км/ч}$

Ответ: 13 км/ч.

97. В кассе было 136 монет пятирублёвого и двухрублёвого достоинства на сумму 428 р. Сколько монет каждого достоинства было в кассе?

Для решения этой задачи можно составить систему уравнений. Пусть $x$ — это количество пятирублёвых монет, а $y$ — количество двухрублёвых монет.

Из условия известно, что общее количество монет равно 136. На основе этого составим первое уравнение:

$x + y = 136$

Также известно, что общая сумма денег составляет 428 рублей. Сумма от пятирублёвых монет составляет $5x$ рублей, а от двухрублёвых — $2y$ рублей. Это позволяет нам составить второе уравнение:

$5x + 2y = 428$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 136 \\ 5x + 2y = 428 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 136 - x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$5x + 2(136 - x) = 428$

Раскроем скобки и найдём значение $x$:

$5x + 272 - 2x = 428$

$3x + 272 = 428$

$3x = 428 - 272$

$3x = 156$

$x = 156 / 3$

$x = 52$

Таким образом, количество пятирублёвых монет равно 52.

Теперь найдём количество двухрублёвых монет, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 136 - 52$

$y = 84$

Следовательно, количество двухрублёвых монет равно 84.

Проверка:

Общее количество монет: $52 + 84 = 136$.

Общая сумма: $5 \cdot 52 + 2 \cdot 84 = 260 + 168 = 428$ р.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: в кассе было 52 пятирублёвые монеты и 84 двухрублёвые монеты.

98 В автобусном парке, обслуживающем туристические маршруты, были автобусы марки «Икарус» по 44 пассажирских места в каждом и марки «Мерседес» по 52 места. Всего в автобусном парке было 15 автобусов, которые одновременно могли перевозить 724 человека. Сколько автобусов каждой марки было в автопарке?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — количество автобусов марки «Икарус», а $y$ — количество автобусов марки «Мерседес».

Из условия известно, что всего в парке 15 автобусов. Это дает нам первое уравнение:
$x + y = 15$

Также известно, что вместимость одного «Икаруса» — 44 человека, а одного «Мерседеса» — 52 человека. Общая вместимость всех автобусов — 724 человека. Отсюда получаем второе уравнение:
$44x + 52y = 724$

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 15 \\ 44x + 52y = 724 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 15 - y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$44(15 - y) + 52y = 724$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Сначала раскроем скобки:

$660 - 44y + 52y = 724$

Приведем подобные слагаемые:

$8y = 724 - 660$

$8y = 64$

$y = \frac{64}{8}$

$y = 8$

Мы нашли количество автобусов «Мерседес», их 8. Теперь найдем количество автобусов «Икарус», подставив значение $y$ в выражение $x = 15 - y$:

$x = 15 - 8$

$x = 7$

Следовательно, в автопарке было 7 автобусов «Икарус».

Выполним проверку:

Общее количество автобусов: $7 + 8 = 15$. Соответствует условию.
Общая вместимость: $7 \cdot 44 + 8 \cdot 52 = 308 + 416 = 724$. Соответствует условию.

Ответ: в автопарке было 7 автобусов «Икарус» и 8 автобусов «Мерседес».

99 В двух бидонах находится 70 л молока. Если из первого бидона перелить во второй $12,5 \%$ молока, находящегося в первом бидоне, то молока в обоих бидонах станет поровну. Сколько литров молока в каждом бидоне?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — начальное количество молока в первом бидоне в литрах, а $y$ — начальное количество молока во втором бидоне в литрах.

Согласно условию, общее количество молока в двух бидонах составляет 70 литров. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = 70$

Далее, из первого бидона переливают во второй 12,5% молока. После этого количество молока в обоих бидонах становится равным. Так как общее количество молока не изменилось и равно 70 литрам, то после переливания в каждом бидоне станет:

$70 \div 2 = 35$ литров

Теперь рассмотрим количество молока в первом бидоне. Изначально в нем было $x$ литров. Из него забрали 12,5%, что составляет $0.125x$. Значит, в первом бидоне осталось:

$x - 0.125x = 0.875x$ литров

Мы знаем, что это оставшееся количество равно 35 литрам. Составим уравнение:

$0.875x = 35$

Для удобства вычислений можно представить 12,5% в виде обыкновенной дроби: $12,5\% = \frac{12.5}{100} = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Тогда количество оставшегося молока в первом бидоне составляет $x - \frac{1}{8}x = \frac{7}{8}x$.

Получаем уравнение:

$\frac{7}{8}x = 35$

Найдем $x$:

$x = 35 \div \frac{7}{8} = 35 \cdot \frac{8}{7} = 5 \cdot 8 = 40$

Итак, в первом бидоне изначально было 40 литров молока.

Теперь найдем начальное количество молока во втором бидоне ($y$), используя первое уравнение:

$y = 70 - x$

$y = 70 - 40 = 30$

В втором бидоне изначально было 30 литров молока.

Проверка:
Изначально: в первом бидоне 40 л, во втором 30 л. Всего $40 + 30 = 70$ л.
Из первого бидона перелили $12,5\%$ молока: $40 \cdot 0.125 = 5$ л.
В первом бидоне осталось: $40 - 5 = 35$ л.
Во второй бидон добавили 5 л: $30 + 5 = 35$ л.
В обоих бидонах стало по 35 литров, что соответствует условию задачи.

Ответ: в первом бидоне было 40 литров молока, а во втором — 30 литров.

100 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля $5\%$ и $40\%$. Сколько нужно взять стали каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с $30\%$-ным содержанием никеля?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — масса (в тоннах) стали первого сорта с 5%-ным содержанием никеля.
Пусть $y$ — масса (в тоннах) стали второго сорта с 40%-ным содержанием никеля.

Согласно условию, общая масса полученной стали должна составлять 140 тонн. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 140$

Далее, рассчитаем массу чистого никеля в каждом сорте и в итоговом сплаве.
Масса никеля в стали первого сорта: $0.05x$ тонн.
Масса никеля в стали второго сорта: $0.40y$ тонн.
Масса никеля в итоговом сплаве (140 т стали с 30%-ным содержанием никеля): $140 \times 0.30 = 42$ тонны.

Сумма масс никеля из двух сортов должна равняться массе никеля в итоговом сплаве. Это дает нам второе уравнение:

$0.05x + 0.40y = 42$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + y = 140 \\ 0.05x + 0.40y = 42 \end{cases}$

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 140 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение и решим его относительно $y$:

$0.05(140 - y) + 0.40y = 42$
$7 - 0.05y + 0.40y = 42$
$0.35y = 42 - 7$
$0.35y = 35$
$y = \frac{35}{0.35}$
$y = 100$

Таким образом, требуется 100 тонн стали второго сорта (с 40% никеля).

Теперь найдем массу стали первого сорта, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 140 - 100 = 40$

Следовательно, требуется 40 тонн стали первого сорта (с 5% никеля).

Ответ: нужно взять 40 т стали с 5%-ным содержанием никеля и 100 т стали с 40%-ным содержанием никеля.

101 Двое рабочих изготовили вместе 1020 деталей. Первый работал 15 дней, а второй — 14 дней. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за один день, если первый за 3 дня изготавливал на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — производительность первого рабочего (количество деталей в день), а $y$ — производительность второго рабочего (количество деталей в день).

Первый рабочий работал 15 дней и изготовил $15x$ деталей. Второй рабочий работал 14 дней и изготовил $14y$ деталей. Вместе они изготовили 1020 деталей. Это дает нам первое уравнение:

$15x + 14y = 1020$

Известно, что первый рабочий за 3 дня ($3x$ деталей) изготовил на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня ($2y$ деталей). Это дает нам второе уравнение:

$3x = 2y + 60$

Перепишем второе уравнение в стандартном виде:

$3x - 2y = 60$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 15x + 14y = 1020 \\ 3x - 2y = 60 \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно использовать метод сложения. Для этого умножим второе уравнение на 7, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:

$7 \cdot (3x - 2y) = 7 \cdot 60$

$21x - 14y = 420$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(15x + 14y) + (21x - 14y) = 1020 + 420$

$36x = 1440$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{1440}{36} = 40$

Итак, производительность первого рабочего составляет 40 деталей в день.

Подставим найденное значение $x=40$ во второе исходное уравнение ($3x - 2y = 60$), чтобы найти $y$:

$3 \cdot 40 - 2y = 60$

$120 - 2y = 60$

$2y = 120 - 60$

$2y = 60$

$y = \frac{60}{2} = 30$

Следовательно, производительность второго рабочего составляет 30 деталей в день.

Проверим найденные значения.

1. Общее количество деталей: $15 \cdot 40 + 14 \cdot 30 = 600 + 420 = 1020$. Условие выполняется.

2. Разница в выработке: $3 \cdot 40 - 2 \cdot 30 = 120 - 60 = 60$. Условие выполняется.

Ответ: первый рабочий изготавливал 40 деталей в день, а второй — 30 деталей в день.

102 При делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 3. Найдите это число, если известно, что при перестановке его цифр получается число, меньшее искомого на 36.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно условиям, $a$ является натуральным числом от 1 до 9, а $b$ — целым числом от 0 до 9. Сумма цифр этого числа равна $a + b$.

Исходя из первого условия задачи, "при делении двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 3", мы можем составить первое уравнение. Используем формулу деления с остатком: Делимое = Делитель × Частное + Остаток.
$10a + b = 7 \cdot (a + b) + 3$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$10a + b = 7a + 7b + 3$
$10a - 7a = 7b - b + 3$
$3a = 6b + 3$
Разделив обе части уравнения на 3, получим:
$a = 2b + 1$

Из второго условия, "при перестановке его цифр получается число, меньшее искомого на 36", составим второе уравнение. Число, полученное перестановкой цифр, равно $10b + a$.
$(10a + b) - (10b + a) = 36$
Раскроем скобки:
$10a + b - 10b - a = 36$
$9a - 9b = 36$
Разделив обе части уравнения на 9, получим:
$a - b = 4$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a = 2b + 1 \\ a - b = 4 \end{cases}$
Для решения системы подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:
$(2b + 1) - b = 4$
$b + 1 = 4$
$b = 4 - 1$
$b = 3$

Теперь, зная значение $b$, найдем $a$, подставив $b=3$ в любое из уравнений. Например, в $a = 2b + 1$:
$a = 2 \cdot 3 + 1$
$a = 6 + 1$
$a = 7$

Таким образом, цифра десятков $a = 7$, а цифра единиц $b = 3$. Искомое число — 73.

Выполним проверку:
1. Сумма цифр: $7 + 3 = 10$. Делим число на сумму цифр: $73 \div 10 = 7$ (остаток 3). Условие выполняется.
2. Число с переставленными цифрами: 37. Разница: $73 - 37 = 36$. Условие выполняется.

Ответ: 73