Страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

52 a) $\frac{1}{3}x + 2\left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{6}\right) = -1\frac{1}{6};$

б) $0,4(3x - 0,5) = 1,5x + 0,2(x + 1);$

в) $\frac{3}{5}\left(2x + \frac{2}{3}\right) - \frac{4}{5}x = 2;$

г) $0,3(6x + 1,5) = 2,7x - 0,6(x - 2).$

а)

Исходное уравнение:

$\frac{1}{3}x + 2(\frac{2}{3}x - \frac{1}{6}) = -1\frac{1}{6}$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$\frac{1}{3}x + 2 \cdot \frac{2}{3}x - 2 \cdot \frac{1}{6} = -1\frac{1}{6}$

$\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}x - \frac{2}{6} = -1\frac{1}{6}$

Сократим дробь $\frac{2}{6}$ до $\frac{1}{3}$ и преобразуем смешанное число $-1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь $-\frac{7}{6}$:

$\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}x - \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(\frac{1}{3} + \frac{4}{3})x - \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}$

$\frac{5}{3}x - \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot (\frac{5}{3}x) - 6 \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot (-\frac{7}{6})$

$10x - 2 = -7$

Перенесем -2 в правую часть с противоположным знаком:

$10x = -7 + 2$

$10x = -5$

Найдем x:

$x = \frac{-5}{10}$

$x = -0,5$

Ответ: $x = -0,5$.

б)

Исходное уравнение:

$0,4(3x - 0,5) = 1,5x + 0,2(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0,4 \cdot 3x - 0,4 \cdot 0,5 = 1,5x + 0,2 \cdot x + 0,2 \cdot 1$

$1,2x - 0,2 = 1,5x + 0,2x + 0,2$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$1,2x - 0,2 = 1,7x + 0,2$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (1,2x - 0,2) = 10 \cdot (1,7x + 0,2)$

$12x - 2 = 17x + 2$

Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числовые слагаемые в другую:

$-2 - 2 = 17x - 12x$

$-4 = 5x$

Найдем x:

$x = \frac{-4}{5}$

$x = -0,8$

Ответ: $x = -0,8$.

в)

Исходное уравнение:

$\frac{3}{5}(2x + \frac{2}{3}) - \frac{4}{5}x = 2$

Раскроем скобки в левой части:

$\frac{3}{5} \cdot 2x + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{3} - \frac{4}{5}x = 2$

$\frac{6}{5}x + \frac{6}{15} - \frac{4}{5}x = 2$

Сократим дробь $\frac{6}{15}$ на 3, получим $\frac{2}{5}$:

$\frac{6}{5}x + \frac{2}{5} - \frac{4}{5}x = 2$

Приведем подобные слагаемые с x:

$(\frac{6}{5} - \frac{4}{5})x + \frac{2}{5} = 2$

$\frac{2}{5}x + \frac{2}{5} = 2$

Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя:

$5 \cdot (\frac{2}{5}x + \frac{2}{5}) = 5 \cdot 2$

$2x + 2 = 10$

Перенесем 2 в правую часть:

$2x = 10 - 2$

$2x = 8$

Найдем x:

$x = \frac{8}{2}$

$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

г)

Исходное уравнение:

$0,3(6x + 1,5) = 2,7x - 0,6(x - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$0,3 \cdot 6x + 0,3 \cdot 1,5 = 2,7x - 0,6 \cdot x - 0,6 \cdot (-2)$

$1,8x + 0,45 = 2,7x - 0,6x + 1,2$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$1,8x + 0,45 = 2,1x + 1,2$

Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$100 \cdot (1,8x + 0,45) = 100 \cdot (2,1x + 1,2)$

$180x + 45 = 210x + 120$

Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числовые слагаемые в другую:

$45 - 120 = 210x - 180x$

$-75 = 30x$

Найдем x:

$x = \frac{-75}{30}$

Сократим дробь на 15:

$x = -\frac{5}{2}$

$x = -2,5$

Ответ: $x = -2,5$.

53 a) $\frac{2x-7}{3} = \frac{5x+4}{5}$

б) $\frac{3x+5}{15} - \frac{x}{3} = \frac{2}{9}$

в) $\frac{3y+8}{6} = \frac{1-4y}{7}$

г) $\frac{4y}{3} - \frac{5y+4}{12} = -2\frac{5}{8}$

a) $\frac{2x - 7}{3} = \frac{5x + 4}{5}$
Это уравнение является пропорцией. Чтобы решить его, воспользуемся основным свойством пропорции (умножим крест-накрест):
$5(2x - 7) = 3(5x + 4)$
Раскроем скобки:
$10x - 35 = 15x + 12$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$10x - 15x = 12 + 35$
Приведем подобные слагаемые:
$-5x = 47$
Найдем $x$:
$x = \frac{47}{-5}$
$x = -9.4$
Ответ: -9.4

б) $\frac{3x + 5}{15} - \frac{x}{3} = \frac{2}{9}$
Чтобы решить уравнение, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 15, 3 и 9 равен 45. Умножим обе части уравнения на 45:
$45 \cdot \frac{3x + 5}{15} - 45 \cdot \frac{x}{3} = 45 \cdot \frac{2}{9}$
$3(3x + 5) - 15x = 5 \cdot 2$
Раскроем скобки и упростим:
$9x + 15 - 15x = 10$
Приведем подобные слагаемые:
$-6x + 15 = 10$
Перенесем 15 в правую часть:
$-6x = 10 - 15$
$-6x = -5$
Найдем $x$:
$x = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

в) $\frac{3y + 8}{6} = \frac{1 - 4y}{7}$
Это пропорция, поэтому используем перекрестное умножение:
$7(3y + 8) = 6(1 - 4y)$
Раскроем скобки:
$21y + 56 = 6 - 24y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$21y + 24y = 6 - 56$
Приведем подобные слагаемые:
$45y = -50$
Найдем $y$:
$y = -\frac{50}{45}$
Сократим дробь на 5:
$y = -\frac{10}{9}$
Ответ: $-\frac{10}{9}$

г) $\frac{4y}{3} - \frac{5y + 4}{12} = -2\frac{5}{8}$
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{5}{8} = -\frac{2 \cdot 8 + 5}{8} = -\frac{21}{8}$.
Теперь уравнение выглядит так: $\frac{4y}{3} - \frac{5y + 4}{12} = -\frac{21}{8}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 3, 12 и 8. Он равен 24. Умножим обе части уравнения на 24:
$24 \cdot \frac{4y}{3} - 24 \cdot \frac{5y + 4}{12} = 24 \cdot (-\frac{21}{8})$
$8(4y) - 2(5y + 4) = 3(-21)$
Раскроем скобки. Обратим внимание на знак минус перед второй дробью:
$32y - 10y - 8 = -63$
Приведем подобные слагаемые:
$22y - 8 = -63$
Перенесем -8 в правую часть:
$22y = -63 + 8$
$22y = -55$
Найдем $y$:
$y = -\frac{55}{22}$
Сократим дробь на 11:
$y = -\frac{5}{2} = -2.5$
Ответ: -2.5

54 a) $4(2x - \frac{1}{4}) - (x + 1) = 7(x + \frac{2}{7});$

б) $5(0,4y - 0,3) + 0,5(3 - 4y) = 0;$

в) $6(\frac{2}{3}x - 1) + (-2x - 3) = 2(x - 3);$

г) $0,2(15y + 4) - 0,6(5y + 1) = 0,2.$

а) $4(2x - \frac{1}{4}) - (x + 1) = 7(x + \frac{2}{7})$

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки в обеих его частях.
$4 \cdot 2x - 4 \cdot \frac{1}{4} - (x + 1) = 7 \cdot x + 7 \cdot \frac{2}{7}$
$8x - 1 - x - 1 = 7x + 2$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(8x - x) + (-1 - 1) = 7x + 2$
$7x - 2 = 7x + 2$

Далее, перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
$7x - 7x = 2 + 2$
$0 \cdot x = 4$

В результате мы получили равенство $0 = 4$, которое является ложным. Это означает, что не существует такого значения $x$, при котором исходное уравнение было бы верным.

Ответ: решений нет.

б) $5(0.4y - 0.3) + 0.5(3 - 4y) = 0$

Начнем с раскрытия скобок в левой части уравнения:
$5 \cdot 0.4y - 5 \cdot 0.3 + 0.5 \cdot 3 - 0.5 \cdot 4y = 0$
$2y - 1.5 + 1.5 - 2y = 0$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2y - 2y) + (-1.5 + 1.5) = 0$
$0 \cdot y + 0 = 0$
$0 = 0$

В результате мы получили верное тождество $0 = 0$. Это означает, что исходное уравнение является верным при любом значении переменной $y$.

Ответ: $y$ - любое число.

в) $6(\frac{2}{3}x - 1) + (-2x - 3) = 2(x - 3)$

Первым шагом раскроем все скобки в уравнении:
$6 \cdot \frac{2}{3}x - 6 \cdot 1 - 2x - 3 = 2 \cdot x - 2 \cdot 3$
$\frac{12}{3}x - 6 - 2x - 3 = 2x - 6$
$4x - 6 - 2x - 3 = 2x - 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(4x - 2x) + (-6 - 3) = 2x - 6$
$2x - 9 = 2x - 6$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ влево, а числа - вправо:
$2x - 2x = -6 + 9$
$0 \cdot x = 3$

Полученное равенство $0 = 3$ является ложным, следовательно, у данного уравнения нет решений.

Ответ: решений нет.

г) $0.2(15y + 4) - 0.6(5y + 1) = 0.2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$0.2 \cdot 15y + 0.2 \cdot 4 - 0.6 \cdot 5y - 0.6 \cdot 1 = 0.2$
$3y + 0.8 - 3y - 0.6 = 0.2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(3y - 3y) + (0.8 - 0.6) = 0.2$
$0 \cdot y + 0.2 = 0.2$
$0.2 = 0.2$

Мы получили верное числовое равенство $0.2 = 0.2$. Это означает, что исходное уравнение выполняется при любом значении переменной $y$.

Ответ: $y$ - любое число.

55 Одно число больше другого на 14, а их сумма равна 58. Найдите эти числа.

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть меньшее из двух искомых чисел равно $x$.

Согласно условию, одно число больше другого на 14. Значит, большее число можно выразить как $x + 14$.

Также по условию известно, что сумма этих двух чисел равна 58. Составим и решим уравнение:

$x + (x + 14) = 58$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + 14 = 58$

Перенесем 14 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 58 - 14$

$2x = 44$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{44}{2}$

$x = 22$

Итак, меньшее число равно 22.

Теперь найдем второе (большее) число:

$22 + 14 = 36$

Проверим, выполняются ли условия задачи:

Разность чисел: $36 - 22 = 14$. (Верно)

Сумма чисел: $22 + 36 = 58$. (Верно)

Ответ: 22 и 36.

56 Сумма двух чисел равна 72, причём одно из них в 3 раза больше другого. Найдите эти числа.

Для решения этой задачи воспользуемся методом составления уравнения.

Пусть меньшее из двух чисел равно $x$.

Согласно условию, второе число в 3 раза больше первого. Следовательно, его можно выразить как $3x$.

Сумма этих двух чисел равна 72. Запишем это в виде уравнения:

$x + 3x = 72$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала сложим слагаемые с переменной $x$ в левой части:

$4x = 72$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{72}{4}$

$x = 18$

Мы нашли меньшее число, оно равно 18. Теперь найдем второе, большее число:

$3x = 3 \cdot 18 = 54$

Таким образом, искомые числа – 18 и 54.

Сделаем проверку:

1. Сумма чисел: $18 + 54 = 72$.

2. Одно число в 3 раза больше другого: $54 \div 18 = 3$.

Оба условия задачи выполняются.

Ответ: 18 и 54.

57 Одно число в 7 раз больше другого, а их разность равна 78. Найдите эти числа.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть меньшее число равно $x$.

Из условия известно, что одно число в 7 раз больше другого. Значит, большее число можно выразить как $7x$.

Также дано, что разность этих двух чисел равна 78. Разность — это результат вычитания меньшего числа из большего. Запишем это в виде уравнения:

$7x - x = 78$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$.

Сначала упростим левую часть уравнения:

$6x = 78$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$x = \frac{78}{6}$

$x = 13$

Мы нашли меньшее число, оно равно 13.

Теперь найдем большее число, умножив меньшее число на 7:

$7 \times 13 = 91$

Таким образом, большее число равно 91.

Проведем проверку:

1. Проверим, действительно ли одно число в 7 раз больше другого: $91 \div 13 = 7$. Условие выполняется.
2. Проверим, равна ли их разность 78: $91 - 13 = 78$. Условие выполняется.

Искомые числа — 13 и 91.

Ответ: 13 и 91.

58 Отношение двух чисел равно $2 : 3$, а сумма этих чисел равна 135.

Найдите эти числа.

Для решения этой задачи обозначим два неизвестных числа как a и b.

Согласно условию, отношение этих чисел равно $2:3$. Это означает, что числа можно представить в виде $a = 2k$ и $b = 3k$, где k — некоторый общий множитель, называемый коэффициентом пропорциональности.

Также по условию нам известна сумма этих чисел:
$a + b = 135$

Теперь подставим выражения для a и b через k в уравнение суммы:
$2k + 3k = 135$

Сложим левую часть уравнения:
$5k = 135$

Найдем значение коэффициента k, разделив 135 на 5:
$k = 135 \div 5$
$k = 27$

Теперь, зная значение k, мы можем вычислить искомые числа:
Первое число: $a = 2k = 2 \cdot 27 = 54$
Второе число: $b = 3k = 3 \cdot 27 = 81$

Проверим, соответствуют ли найденные числа условиям задачи:
1. Сумма: $54 + 81 = 135$. Условие выполняется.
2. Отношение: $54 : 81$. Чтобы упростить это отношение, найдем наибольший общий делитель чисел 54 и 81, который равен 27. Разделив каждое число на 27, получаем $54 \div 27 = 2$ и $81 \div 27 = 3$. Отношение равно $2:3$. Условие выполняется.

Ответ: 54 и 81.

59 Отношение двух чисел равно $7 : 4$. Найдите эти числа, если одно из них больше другого на 48.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда, согласно отношению $7:4$, первое число можно представить как $7x$, а второе — как $4x$.

Из условия задачи известно, что одно из чисел больше другого на 48. Поскольку $7x > 4x$ (при положительных числах), то большее число — это $7x$, а меньшее — $4x$.

Составим уравнение, исходя из разности этих чисел:

$7x - 4x = 48$

Решим это уравнение:

$3x = 48$

$x = \frac{48}{3}$

$x = 16$

Теперь, зная значение коэффициента пропорциональности $x$, мы можем найти искомые числа:

Первое (большее) число: $7x = 7 \cdot 16 = 112$

Второе (меньшее) число: $4x = 4 \cdot 16 = 64$

Проверим: разность чисел $112 - 64 = 48$, а их отношение $\frac{112}{64} = \frac{7}{4}$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 112 и 64.

60 Отношение трёх чисел равно $5 : 4 : 3$, а их сумма равна 84. Найдите эти числа.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда, согласно отношению $5 : 4 : 3$, три искомых числа можно представить как $5x$, $4x$ и $3x$.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел равна 84. Составим уравнение: $5x + 4x + 3x = 84$

Сложим все части, содержащие $x$: $12x = 84$

Теперь найдём значение $x$: $x = 84 \div 12$ $x = 7$

Зная коэффициент пропорциональности, мы можем найти каждое из чисел:

• Первое число: $5x = 5 \times 7 = 35$
• Второе число: $4x = 4 \times 7 = 28$
• Третье число: $3x = 3 \times 7 = 21$

Проверим: сумма чисел $35 + 28 + 21 = 84$. Отношение $35 : 28 : 21$ после сокращения на 7 дает $5 : 4 : 3$. Всё верно.

Ответ: искомые числа – 35, 28 и 21.

61 Отношение двух чисел равно $5 : 3$. Если к первому числу прибавить 1, а второе число вычесть из 25, то получатся равные результаты. Найдите эти числа.

Пусть первое искомое число равно $a$, а второе — $b$.

Согласно условию задачи, отношение этих двух чисел равно $5:3$. Это можно записать в виде пропорции: $ \frac{a}{b} = \frac{5}{3} $

Из этой пропорции можно выразить одно число через другое, но удобнее ввести коэффициент пропорциональности $x$. Пусть первое число $a = 5x$, а второе число $b = 3x$.

Второе условие задачи гласит, что если к первому числу прибавить 1, а второе число вычесть из 25, то результаты будут равны. Составим уравнение на основе этого условия: $ a + 1 = 25 - b $

Теперь подставим в это уравнение выражения для $a$ и $b$ через $x$: $ 5x + 1 = 25 - 3x $

Решим полученное уравнение. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. $ 5x + 3x = 25 - 1 $

Упростим обе части уравнения: $ 8x = 24 $

Найдем значение $x$: $ x = \frac{24}{8} $ $ x = 3 $

Теперь, когда мы нашли коэффициент пропорциональности, мы можем найти исходные числа: Первое число: $a = 5x = 5 \cdot 3 = 15$. Второе число: $b = 3x = 3 \cdot 3 = 9$.

Сделаем проверку. 1. Отношение найденных чисел: $15:9$. Сократив на 3, получаем $5:3$. Первое условие выполняется. 2. К первому числу прибавляем 1: $15 + 1 = 16$. 3. Второе число вычитаем из 25: $25 - 9 = 16$. Результаты равны ($16=16$), второе условие также выполняется.

Ответ: 15 и 9.