Страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

38 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -2x - 3, & \text{если } -4 \le x \le 0, \\ x^2, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

С помощью графика найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) значение $x$, при котором функция претерпевает разрыв;

г) промежутки возрастания и убывания функции.

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} -2x - 3, & \text{если } -4 \le x \le 0, \\ x^2, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases}$ необходимо рассмотреть каждую ее часть отдельно.

1. График функции $y = -2x - 3$ на промежутке $[-4, 0]$ — это отрезок прямой. Для его построения найдем координаты двух точек на концах отрезка:

• При $x = -4$, $y = -2(-4) - 3 = 8 - 3 = 5$. Координаты точки: $(-4, 5)$.
• При $x = 0$, $y = -2(0) - 3 = -3$. Координаты точки: $(0, -3)$.

Поскольку неравенства нестрогие, обе точки ( $(-4, 5)$ и $(0, -3)$ ) являются частью графика и изображаются закрашенными.

2. График функции $y = x^2$ на промежутке $(0, 3]$ — это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее концов:

• При $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0+$), значение $y$ стремится к $0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ не входит в график, так как неравенство $x > 0$ строгое. На графике эта точка изображается выколотой (пустым кружком).
• При $x = 3$, $y = 3^2 = 9$. Координаты точки: $(3, 9)$. Эта точка входит в график, так как неравенство $x \le 3$ нестрогое, и изображается закрашенной.

Объединение этих двух частей на одной координатной плоскости и представляет собой график функции $y = f(x)$.

а) область определения функции;

Область определения функции ($D(f)$) — это все значения $x$, для которых функция определена. Согласно условию, функция задана на двух промежутках: $[-4, 0]$ и $(0, 3]$. Объединив эти два промежутка, мы получим всю область определения.

$D(f) = [-4, 0] \cup (0, 3] = [-4, 3]$.

Ответ: $D(f) = [-4, 3]$.

б) множество значений функции;

Множество значений функции ($E(f)$) — это все значения $y$, которые принимает функция. Проанализируем значения на каждом участке:

1. На отрезке $x \in [-4, 0]$, функция $y = -2x - 3$ убывает от $f(-4)=5$ до $f(0)=-3$. Множество значений на этом участке: $[-3, 5]$.

2. На полуинтервале $x \in (0, 3]$, функция $y = x^2$ возрастает. Значения изменяются от $y \to 0$ (не включая 0) до $y=f(3)=9$. Множество значений на этом участке: $(0, 9]$.

Общее множество значений функции — это объединение полученных множеств: $E(f) = [-3, 5] \cup (0, 9] = [-3, 9]$.

Ответ: $E(f) = [-3, 9]$.

в) значение x, при котором функция претерпевает разрыв;

Разрыв функции может произойти в точке, где меняется ее аналитическое задание, то есть при $x=0$. Чтобы проверить это, найдем односторонние пределы в этой точке:

• Предел слева (по первой формуле): $\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} (-2x - 3) = -2(0) - 3 = -3$.
• Предел справа (по второй формуле): $\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} (x^2) = 0^2 = 0$.

Поскольку предел слева не равен пределу справа ($-3 \neq 0$), функция имеет разрыв в точке $x=0$. Это разрыв первого рода (скачок).

Ответ: $x=0$.

г) промежутки возрастания и убывания функции.

Определим монотонность функции на каждом из промежутков:

1. На промежутке $[-4, 0]$ функция $y = -2x - 3$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-2$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

2. На промежутке $(0, 3]$ функция $y = x^2$ возрастает, так как для $x>0$ большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-4, 0]$, функция возрастает на промежутке $(0, 3]$.

39 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 4x - 1$. Найдите:

a) $f(-3)$, $f(0)$, $f(0,5)$, $f\left(\frac{1}{4}\right)$;

б) $f(a)$, $f(-2a)$, $f(a - 2)$, $f(a) - 2$;

в) $f(t^2)$, $f(t^2 - 1)$, $f((t - 1)^2)$, $f(t^2) - 1$;

г) $f(x + 3)$, $f(2x - 1)$, $f(1 - 2x)^2$, $f(x - x^2)$.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 4x - 1$. Для нахождения значения функции для заданного аргумента (числа, переменной или выражения) необходимо подставить этот аргумент вместо $x$ в формулу функции $f(x) = 4x - 1$ и выполнить вычисления.

а)

Подставляем числовые значения в функцию:

$f(-3) = 4 \cdot (-3) - 1 = -12 - 1 = -13$
$f(0) = 4 \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1$
$f(0,5) = 4 \cdot 0,5 - 1 = 2 - 1 = 1$
$f(\frac{1}{4}) = 4 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 1 - 1 = 0$
Ответ: $f(-3) = -13$; $f(0) = -1$; $f(0,5) = 1$; $f(\frac{1}{4}) = 0$.

б)

Подставляем алгебраические выражения с переменной $a$ в функцию:

$f(a) = 4a - 1$
$f(-2a) = 4(-2a) - 1 = -8a - 1$
$f(a - 2) = 4(a - 2) - 1 = 4a - 8 - 1 = 4a - 9$
Для выражения $f(a) - 2$ сначала находим $f(a) = 4a - 1$, а затем вычитаем 2:
$f(a) - 2 = (4a - 1) - 2 = 4a - 3$
Ответ: $f(a) = 4a - 1$; $f(-2a) = -8a - 1$; $f(a - 2) = 4a - 9$; $f(a) - 2 = 4a - 3$.

в)

Подставляем алгебраические выражения с переменной $t$ в функцию:

$f(t^2) = 4(t^2) - 1 = 4t^2 - 1$
$f(t^2 - 1) = 4(t^2 - 1) - 1 = 4t^2 - 4 - 1 = 4t^2 - 5$
$f((t - 1)^2) = 4(t - 1)^2 - 1 = 4(t^2 - 2t + 1) - 1 = 4t^2 - 8t + 4 - 1 = 4t^2 - 8t + 3$
Для выражения $f(t^2) - 1$ сначала находим $f(t^2) = 4t^2 - 1$, а затем вычитаем 1:
$f(t^2) - 1 = (4t^2 - 1) - 1 = 4t^2 - 2$
Ответ: $f(t^2) = 4t^2 - 1$; $f(t^2 - 1) = 4t^2 - 5$; $f((t - 1)^2) = 4t^2 - 8t + 3$; $f(t^2) - 1 = 4t^2 - 2$.

г)

Подставляем алгебраические выражения с переменной $x$ в функцию:

$f(x + 3) = 4(x + 3) - 1 = 4x + 12 - 1 = 4x + 11$
$f(2x - 1) = 4(2x - 1) - 1 = 8x - 4 - 1 = 8x - 5$
$f((1 - 2x)^2) = 4(1 - 2x)^2 - 1 = 4(1 - 4x + 4x^2) - 1 = 4 - 16x + 16x^2 - 1 = 16x^2 - 16x + 3$
$f(x - x^2) = 4(x - x^2) - 1 = 4x - 4x^2 - 1 = -4x^2 + 4x - 1$
Ответ: $f(x + 3) = 4x + 11$; $f(2x - 1) = 8x - 5$; $f((1 - 2x)^2) = 16x^2 - 16x + 3$; $f(x - x^2) = -4x^2 + 4x - 1$.

40 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 2x + 3$. Найдите:

а) $f(-2)$, $f(-0,5)$, $f(0)$, $f(1,5)$;

б) $f(-p)$, $f(\frac{p}{2})$, $f(0,5 + p)$, $f(p) + 0,5$;

в) $f(y^2)$, $f(y^2 + 2)$, $f((y + 2)^2)$, $f(y^2) + 2$;

г) $f(x - 4)$, $f(1 - x)$, $f(2x^2) - 4$, $f(\frac{1}{2}x^3 - 1)$.

Дана функция $f(x) = 2x + 3$. Для нахождения значения функции при заданном аргументе, необходимо подставить этот аргумент в формулу вместо $x$.

а) Найдём значения функции для числовых аргументов:

$f(-2) = 2 \cdot (-2) + 3 = -4 + 3 = -1$

$f(-0,5) = 2 \cdot (-0,5) + 3 = -1 + 3 = 2$

$f(0) = 2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$

$f(1,5) = 2 \cdot 1,5 + 3 = 3 + 3 = 6$

Ответ: $f(-2)=-1; f(-0,5)=2; f(0)=3; f(1,5)=6$.

б) Найдём значения функции для аргументов, выраженных через переменную $p$:

$f(-p) = 2(-p) + 3 = -2p + 3$

$f(\frac{p}{2}) = 2 \cdot \frac{p}{2} + 3 = p + 3$

$f(0,5 + p) = 2(0,5 + p) + 3 = 1 + 2p + 3 = 2p + 4$

Для выражения $f(p) + 0,5$ сначала находим $f(p)$, а затем прибавляем 0,5:

$f(p) + 0,5 = (2p + 3) + 0,5 = 2p + 3,5$

Ответ: $f(-p) = -2p + 3; f(\frac{p}{2}) = p + 3; f(0,5 + p) = 2p + 4; f(p) + 0,5 = 2p + 3,5$.

в) Найдём значения функции для аргументов, выраженных через переменную $y$:

$f(y^2) = 2(y^2) + 3 = 2y^2 + 3$

$f(y^2 + 2) = 2(y^2 + 2) + 3 = 2y^2 + 4 + 3 = 2y^2 + 7$

$f((y + 2)^2) = 2(y + 2)^2 + 3 = 2(y^2 + 4y + 4) + 3 = 2y^2 + 8y + 8 + 3 = 2y^2 + 8y + 11$

Для выражения $f(y^2) + 2$ сначала находим $f(y^2)$, а затем прибавляем 2:

$f(y^2) + 2 = (2y^2 + 3) + 2 = 2y^2 + 5$

Ответ: $f(y^2) = 2y^2 + 3; f(y^2 + 2) = 2y^2 + 7; f((y + 2)^2) = 2y^2 + 8y + 11; f(y^2) + 2 = 2y^2 + 5$.

г) Найдём значения функции для аргументов, выраженных через переменную $x$:

$f(x - 4) = 2(x - 4) + 3 = 2x - 8 + 3 = 2x - 5$

$f(1 - x) = 2(1 - x) + 3 = 2 - 2x + 3 = 5 - 2x$

Для выражения $f(2x^2) - 4$ сначала находим $f(2x^2)$, а затем вычитаем 4:

$f(2x^2) - 4 = (2(2x^2) + 3) - 4 = (4x^2 + 3) - 4 = 4x^2 - 1$

$f(\frac{1}{2}x^3 - 1) = 2(\frac{1}{2}x^3 - 1) + 3 = (2 \cdot \frac{1}{2}x^3 - 2 \cdot 1) + 3 = x^3 - 2 + 3 = x^3 + 1$

Ответ: $f(x - 4) = 2x - 5; f(1 - x) = 5 - 2x; f(2x^2) - 4 = 4x^2 - 1; f(\frac{1}{2}x^3 - 1) = x^3 + 1$.

41 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. Найдите:

a) $f(-5)$, $f(-1,4)$, $f(0)$, $f(2,3)$;

б) $f(a)$, $f(-a)$, $-f(a)$, $-f(-a)$;

в) $f(t - 3)$, $f(t) - 3$, $f((t - 3)^2)$, $-f(3t)$;

г) $f(-x)$, $f(5 - x)$, $f(\frac{x}{3}) + 1$, $f(x^2 + 1)$.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. Для нахождения значений функции при различных значениях аргумента, необходимо подставить соответствующее выражение для аргумента вместо $x$ в определение функции.

а) Найдем значения функции для числовых аргументов:

Для $x = -5$: $f(-5) = (-5)^2 = 25$.

Для $x = -1,4$: $f(-1,4) = (-1,4)^2 = 1,96$.

Для $x = 0$: $f(0) = 0^2 = 0$.

Для $x = 2,3$: $f(2,3) = (2,3)^2 = 5,29$.

Ответ: $f(-5) = 25$; $f(-1,4) = 1,96$; $f(0) = 0$; $f(2,3) = 5,29$.

б) Найдем значения выражений с параметром $a$:

$f(a)$: подставляем $a$ вместо $x$, получаем $f(a) = a^2$.

$f(-a)$: подставляем $-a$ вместо $x$, получаем $f(-a) = (-a)^2 = a^2$.

$-f(a)$: сначала находим $f(a) = a^2$, затем берем выражение со знаком минус: $-f(a) = -a^2$.

$-f(-a)$: сначала находим $f(-a) = a^2$, затем берем выражение со знаком минус: $-f(-a) = -a^2$.

Ответ: $f(a) = a^2$; $f(-a) = a^2$; $-f(a) = -a^2$; $-f(-a) = -a^2$.

в) Найдем значения выражений с параметром $t$:

$f(t-3)$: подставляем $t-3$ вместо $x$: $f(t-3) = (t-3)^2 = t^2 - 6t + 9$.

$f(t)-3$: сначала находим $f(t)=t^2$, а затем вычитаем 3: $f(t)-3 = t^2 - 3$.

$f((t-3)^2)$: подставляем $(t-3)^2$ вместо $x$: $f((t-3)^2) = ((t-3)^2)^2 = (t-3)^4$.

$-f(3t)$: сначала находим $f(3t)$, подставляя $3t$ вместо $x$: $f(3t) = (3t)^2 = 9t^2$. Затем берем выражение со знаком минус: $-f(3t) = -9t^2$.

Ответ: $f(t-3) = t^2 - 6t + 9$; $f(t)-3 = t^2-3$; $f((t-3)^2) = (t-3)^4$; $-f(3t) = -9t^2$.

г) Найдем значения выражений с переменной $x$:

$f(-x)$: подставляем $-x$ в функцию: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$.

$f(5-x)$: подставляем $5-x$ в функцию: $f(5-x) = (5-x)^2 = 25 - 10x + x^2$.

$f\left(\frac{x}{3}\right) + 1$: сначала находим $f\left(\frac{x}{3}\right) = \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{x^2}{9}$. Затем прибавляем 1: $f\left(\frac{x}{3}\right) + 1 = \frac{x^2}{9} + 1$.

$f(x^2+1)$: подставляем $x^2+1$ в функцию: $f(x^2+1) = (x^2+1)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$.

Ответ: $f(-x) = x^2$; $f(5-x) = x^2 - 10x + 25$; $f\left(\frac{x}{3}\right) + 1 = \frac{x^2}{9} + 1$; $f(x^2+1) = x^4 + 2x^2 + 1$.

42 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^2$. Найдите:

а) $f(-8)$, $f(-1,7)$, $f(1)$, $f(2,1)$;

б) $f(-p)$, $-f(p)$, $f(2p)$, $-f(-2p)$;

в) $f(z + 4)$, $f(z) + 4$, $f((z^2 + 4))$, $f(((z + 4)^3))$;

г) $f(-x)$, $f(3 - x)$, $f(1 - 0,5x)$, $f(x^2) + 3$.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^2$. Для нахождения значений функции необходимо подставить заданные аргументы (числа или выражения) в формулу вместо $x$.

а) Выполним подстановку числовых значений:
$f(-8) = -(-8)^2 = -(64) = -64$
$f(-1,7) = -(-1,7)^2 = -(2,89) = -2,89$
$f(1) = -(1)^2 = -1$
$f(2,1) = -(2,1)^2 = -(4,41) = -4,41$
Ответ: $f(-8) = -64$; $f(-1,7) = -2,89$; $f(1) = -1$; $f(2,1) = -4,41$.

б) Выполним вычисления для алгебраических выражений:
$f(-p) = -(-p)^2 = -p^2$
Для $-f(p)$ сначала найдем $f(p) = -p^2$, а затем изменим знак: $-f(p) = -(-p^2) = p^2$
$f(2p) = -(2p)^2 = -(4p^2) = -4p^2$
Для $-f(-2p)$ сначала найдем $f(-2p) = -(-2p)^2 = -(4p^2) = -4p^2$, а затем изменим знак: $-f(-2p) = -(-4p^2) = 4p^2$
Ответ: $f(-p) = -p^2$; $-f(p) = p^2$; $f(2p) = -4p^2$; $-f(-2p) = 4p^2$.

в) Подставим более сложные выражения в качестве аргументов функции:
$f(z + 4) = -(z + 4)^2 = -(z^2 + 8z + 16) = -z^2 - 8z - 16$
$f(z) + 4$ означает, что к значению функции $f(z)$ нужно прибавить 4: $f(z) + 4 = (-z^2) + 4 = 4 - z^2$
$f(z^2 + 4) = -(z^2 + 4)^2 = -(z^4 + 8z^2 + 16) = -z^4 - 8z^2 - 16$
$f((z + 4)^3) = -((z + 4)^3)^2 = -(z+4)^6$
Ответ: $f(z+4) = -z^2 - 8z - 16$; $f(z)+4 = 4 - z^2$; $f(z^2+4) = -z^4 - 8z^2 - 16$; $f((z+4)^3) = -(z+4)^6$.

г) Вычислим значения последних выражений:
$f(-x) = -(-x)^2 = -x^2$
$f(3 - x) = -(3 - x)^2 = -(9 - 6x + x^2) = -x^2 + 6x - 9$
$f(1 - 0,5x) = -(1 - 0,5x)^2 = -(1 - x + 0,25x^2) = -0,25x^2 + x - 1$
$f(x^2) + 3$ означает, что к значению функции от $x^2$ нужно прибавить 3: $f(x^2) + 3 = -(x^2)^2 + 3 = -x^4 + 3 = 3 - x^4$
Ответ: $f(-x) = -x^2$; $f(3-x) = -x^2 + 6x - 9$; $f(1-0,5x) = -0,25x^2 + x - 1$; $f(x^2)+3 = 3 - x^4$.

43 a) Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = 2x - 5$, $g(x) = -3x + 4$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x - 1) = g(x + 1)$?

б) Даны функции $y = f(x)$ и $y = h(x)$, где $f(x) = -4x - 1$, $h(x) = 2x + 9$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x + 2) = h(x - 3)$?

а) Даны функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = 2x - 5$, $g(x) = -3x + 4$.

Требуется найти значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x - 1) = g(x + 1)$.

1. Найдем выражение для $f(x - 1)$. Для этого подставим $(x - 1)$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$:

$f(x - 1) = 2(x - 1) - 5 = 2x - 2 - 5 = 2x - 7$.

2. Найдем выражение для $g(x + 1)$. Для этого подставим $(x + 1)$ вместо $x$ в формулу функции $g(x)$:

$g(x + 1) = -3(x + 1) + 4 = -3x - 3 + 4 = -3x + 1$.

3. Приравняем полученные выражения, чтобы решить уравнение $f(x - 1) = g(x + 1)$:

$2x - 7 = -3x + 1$.

4. Решим полученное линейное уравнение:

$2x + 3x = 1 + 7$

$5x = 8$

$x = \frac{8}{5}$

$x = 1.6$.

Ответ: $1.6$.

б) Даны функции $y = f(x)$ и $y = h(x)$, где $f(x) = -4x - 1$, $h(x) = 2x + 9$.

Требуется найти значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x + 2) = h(x - 3)$.

1. Найдем выражение для $f(x + 2)$. Для этого подставим $(x + 2)$ вместо $x$ в формулу функции $f(x)$:

$f(x + 2) = -4(x + 2) - 1 = -4x - 8 - 1 = -4x - 9$.

2. Найдем выражение для $h(x - 3)$. Для этого подставим $(x - 3)$ вместо $x$ в формулу функции $h(x)$:

$h(x - 3) = 2(x - 3) + 9 = 2x - 6 + 9 = 2x + 3$.

3. Приравняем полученные выражения, чтобы решить уравнение $f(x + 2) = h(x - 3)$:

$-4x - 9 = 2x + 3$.

4. Решим полученное линейное уравнение:

$-9 - 3 = 2x + 4x$

$-12 = 6x$

$x = \frac{-12}{6}$

$x = -2$.

Ответ: $-2$.