Номер 38, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 38, страница 223.

Условие.

38 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -2x - 3, & \text{если } -4 \le x \le 0, \\ x^2, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

С помощью графика найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) значение $x$, при котором функция претерпевает разрыв;

г) промежутки возрастания и убывания функции.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} -2x - 3, & \text{если } -4 \le x \le 0, \\ x^2, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases}$ необходимо рассмотреть каждую ее часть отдельно.

1. График функции $y = -2x - 3$ на промежутке $[-4, 0]$ — это отрезок прямой. Для его построения найдем координаты двух точек на концах отрезка:

• При $x = -4$, $y = -2(-4) - 3 = 8 - 3 = 5$. Координаты точки: $(-4, 5)$.
• При $x = 0$, $y = -2(0) - 3 = -3$. Координаты точки: $(0, -3)$.

Поскольку неравенства нестрогие, обе точки ( $(-4, 5)$ и $(0, -3)$ ) являются частью графика и изображаются закрашенными.

2. График функции $y = x^2$ на промежутке $(0, 3]$ — это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее концов:

• При $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0+$), значение $y$ стремится к $0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ не входит в график, так как неравенство $x > 0$ строгое. На графике эта точка изображается выколотой (пустым кружком).
• При $x = 3$, $y = 3^2 = 9$. Координаты точки: $(3, 9)$. Эта точка входит в график, так как неравенство $x \le 3$ нестрогое, и изображается закрашенной.

Объединение этих двух частей на одной координатной плоскости и представляет собой график функции $y = f(x)$.

---

а) область определения функции;

Область определения функции ($D(f)$) — это все значения $x$, для которых функция определена. Согласно условию, функция задана на двух промежутках: $[-4, 0]$ и $(0, 3]$. Объединив эти два промежутка, мы получим всю область определения.

$D(f) = [-4, 0] \cup (0, 3] = [-4, 3]$.

Ответ: $D(f) = [-4, 3]$.

б) множество значений функции;

Множество значений функции ($E(f)$) — это все значения $y$, которые принимает функция. Проанализируем значения на каждом участке:

1. На отрезке $x \in [-4, 0]$, функция $y = -2x - 3$ убывает от $f(-4)=5$ до $f(0)=-3$. Множество значений на этом участке: $[-3, 5]$.

2. На полуинтервале $x \in (0, 3]$, функция $y = x^2$ возрастает. Значения изменяются от $y \to 0$ (не включая 0) до $y=f(3)=9$. Множество значений на этом участке: $(0, 9]$.

Общее множество значений функции — это объединение полученных множеств: $E(f) = [-3, 5] \cup (0, 9] = [-3, 9]$.

Ответ: $E(f) = [-3, 9]$.

в) значение x, при котором функция претерпевает разрыв;

Разрыв функции может произойти в точке, где меняется ее аналитическое задание, то есть при $x=0$. Чтобы проверить это, найдем односторонние пределы в этой точке:

• Предел слева (по первой формуле): $\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} (-2x - 3) = -2(0) - 3 = -3$.
• Предел справа (по второй формуле): $\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} (x^2) = 0^2 = 0$.

Поскольку предел слева не равен пределу справа ($-3 \neq 0$), функция имеет разрыв в точке $x=0$. Это разрыв первого рода (скачок).

Ответ: $x=0$.

г) промежутки возрастания и убывания функции.

Определим монотонность функции на каждом из промежутков:

1. На промежутке $[-4, 0]$ функция $y = -2x - 3$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-2$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.

2. На промежутке $(0, 3]$ функция $y = x^2$ возрастает, так как для $x>0$ большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-4, 0]$, функция возрастает на промежутке $(0, 3]$.