Номер 37, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 37, страница 222.

Условие.

37 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -x^2, \text{ если } -2 \le x \le 0 \\ 2x, \text{ если } 0 < x \le 2 \end{cases}$

С помощью графика найдите:

а) $f(-1)$, $f(0)$, $f(2)$;

б) значения $x$, при которых $f(x) = 0$, $f(x) = -4$, $f(x) = 1$;

в) область определения функции;

г) множество значений функции.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для построения графика заданной кусочной функции $y = f(x)$ рассмотрим каждый её участок отдельно.

1. На промежутке $-2 \le x \le 0$ функция задаётся формулой $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Вычислим значения функции на концах этого промежутка:

• при $x = -2, y = -(-2)^2 = -4$;
• при $x = 0, y = -(0)^2 = 0$.

Таким образом, на координатной плоскости мы строим часть параболы, соединяющую точки $(-2, -4)$ и $(0, 0)$. Обе точки включены.

2. На промежутке $0 < x \le 2$ функция задаётся формулой $y = 2x$. Это часть прямой, проходящей через начало координат. Вычислим значения функции на концах этого промежутка:

• при $x \to 0$ (справа), $y \to 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$ не входит в этот участок (будет "выколотой").
• при $x = 2, y = 2 \cdot 2 = 4$.

Таким образом, мы строим отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(2, 4)$. Точка $(0,0)$ не включена, а точка $(2,4)$ включена.

Совмещая обе части, получаем итоговый график. Точка $(0, 0)$ является "общей", и так как она включена в первый промежуток, на итоговом графике она будет закрашенной.

Теперь, используя график и определение функции, найдём требуемые значения.

а) f(-1), f(0), f(2);
Чтобы найти значение $f(-1)$, используем первую часть определения функции, так как $-2 \le -1 \le 0$.
$f(-1) = -(-1)^2 = -1$.
Чтобы найти значение $f(0)$, используем первую часть определения функции, так как $x=0$ принадлежит промежутку $[-2; 0]$.
$f(0) = -(0)^2 = 0$.
Чтобы найти значение $f(2)$, используем вторую часть определения функции, так как $0 < 2 \le 2$.
$f(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $f(-1) = -1$, $f(0) = 0$, $f(2) = 4$.

б) значения x, при которых f(x) = 0, f(x) = -4, f(x) = 1;
Найдём $x$, при котором $f(x) = 0$. Из графика видно, что график пересекает ось абсцисс в точке $x = 0$. Проверим по формулам: $-x^2 = 0 \Rightarrow x=0$. Это значение принадлежит промежутку $[-2; 0]$. Уравнение $2x=0$ также дает $x=0$, но это значение не входит в промежуток $(0; 2]$. Итак, $x=0$.
Найдём $x$, при котором $f(x) = -4$. Проведём мысленно прямую $y=-4$. Она пересекает параболическую часть графика. Решим уравнение $-x^2 = -4$ для $x \in [-2; 0]$. Получаем $x^2 = 4$, откуда $x=2$ или $x=-2$. Промежутку $[-2; 0]$ принадлежит только $x=-2$.
Найдём $x$, при котором $f(x) = 1$. Проведём мысленно прямую $y=1$. Она пересекает линейную часть графика. Решим уравнение $2x = 1$ для $x \in (0; 2]$. Получаем $x = 0.5$. Это значение принадлежит промежутку $(0; 2]$. Уравнение $-x^2=1$ на первом промежутке решений не имеет.
Ответ: при $f(x) = 0$, $x = 0$; при $f(x) = -4$, $x = -2$; при $f(x) = 1$, $x = 0.5$.

в) область определения функции;
Область определения $D(f)$ — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Она состоит из объединения двух промежутков, указанных в условии: $[-2; 0]$ и $(0; 2]$.
$D(f) = [-2; 0] \cup (0; 2] = [-2; 2]$.
Ответ: $D(f) = [-2; 2]$.

г) множество значений функции.
Множество значений $E(f)$ — это множество всех значений, которые принимает функция $y$.
На промежутке $[-2; 0]$ функция $y = -x^2$ принимает значения от $y(-2) = -4$ до $y(0) = 0$. Множество значений на этом участке: $[-4; 0]$.
На промежутке $(0; 2]$ функция $y = 2x$ принимает значения от $0$ (не включая) до $y(2) = 4$ (включая). Множество значений на этом участке: $(0; 4]$.
Общее множество значений функции является объединением этих двух множеств: $E(f) = [-4; 0] \cup (0; 4] = [-4; 4]$.
Ответ: $E(f) = [-4; 4]$.