Номер 32, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 32, страница 222.

Условие.

32 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = -x^2$:

a) на отрезке $[-2; 1]$;

б) на интервале $(-3; 1)$;

в) на полуинтервале $(0,3; 3]$;

г) на луче $(-\infty; -1]$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = -x^2$ на различных промежутках, проанализируем её свойства. Это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Вершина является точкой глобального максимума. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

а) на отрезке [-2; 1];

Данный отрезок является замкнутым и содержит точку максимума $x = 0$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться в этой точке.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = -(0)^2 = 0$.

Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -2$ и $x = 1$:

$y(-2) = -(-2)^2 = -4$

$y(1) = -(1)^2 = -1$

Сравнивая значения, видим, что наименьшее из них равно -4.

Ответ: наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно -4.

б) на интервале (-3; 1);

Данный интервал является открытым, но он также содержит точку максимума $x=0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = 0$.

Для поиска наименьшего значения рассмотрим поведение функции вблизи границ интервала. При $x \to -3$, значение $y \to -(-3)^2 = -9$. При $x \to 1$, значение $y \to -(1)^2 = -1$. Поскольку интервал открытый, точки $x = -3$ и $x = 1$ в него не входят. Значения функции могут быть сколь угодно близки к -9, но никогда не достигают этого значения. Следовательно, наименьшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 0, наименьшего значения не существует.

в) на полуинтервале (0,3; 3];

Данный полуинтервал не содержит точку максимума $x=0$. На промежутке $[0; +\infty)$ функция $y = -x^2$ монотонно убывает. Следовательно, она убывает и на полуинтервале $(0,3; 3]$.

В этом случае наименьшее значение достигается на правом конце промежутка, так как он включен в полуинтервал.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = -(3)^2 = -9$.

Наибольшее значение должно было бы достигаться на левом конце, но точка $x = 0,3$ не включена в промежуток. Значения функции стремятся к $y(0,3) = -(0,3)^2 = -0,09$, но не достигают его. Поэтому наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение равно -9, наибольшего значения не существует.

г) на луче (−∞; −1];

Данный луч не содержит точку максимума $x=0$. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $y = -x^2$ монотонно возрастает. Следовательно, она возрастает и на луче $(-\infty; -1]$.

Наибольшее значение будет достигаться в самой правой точке промежутка, которая включена в него.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = -(-1)^2 = -1$.

Поскольку луч уходит в $-\infty$, функция $y = -x^2$ будет также стремиться к $-\infty$. Это означает, что функция не ограничена снизу, и наименьшего значения не существует.

Ответ: наибольшее значение равно -1, наименьшего значения не существует.