Номер 29, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Функции и графики. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 29, страница 221.

Условие.

29 Постройте график функции $y = x^2$. С помощью графика определите:

а) значения функции, если $x \ge 1$;

б) значения аргумента, если $1 < y < 4$;

в) наименьшее значение функции;

г) промежутки возрастания и убывания функции.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для решения задачи построим график функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• Если $x=0$, то $y=0^2=0$. Точка (0, 0).
• Если $x=1$, то $y=1^2=1$. Точка (1, 1).
• Если $x=-1$, то $y=(-1)^2=1$. Точка (-1, 1).
• Если $x=2$, то $y=2^2=4$. Точка (2, 4).
• Если $x=-2$, то $y=(-2)^2=4$. Точка (-2, 4).
• Если $x=3$, то $y=3^2=9$. Точка (3, 9).
• Если $x=-3$, то $y=(-3)^2=9$. Точка (-3, 9).

Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы. Теперь с помощью построенного графика определим требуемые значения.

а) значения функции, если $x \ge 1$

На графике находим часть параболы, где абсциссы (значения $x$) больше или равны 1. Это правая ветвь параболы, начинающаяся с точки (1, 1) и идущая вверх. Мы видим, что для этой части графика ординаты (значения $y$) начинаются от 1 и неограниченно возрастают. При $x=1$ значение функции $y=1^2=1$. При увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Таким образом, если $x \ge 1$, то значения функции $y \ge 1$.

Ответ: $y \ge 1$.

б) значения аргумента, если $1 < y < 4$

На оси $Oy$ выделим интервал значений от 1 до 4. Проведем горизонтальные прямые $y=1$ и $y=4$. Эти прямые пересекут параболу в точках, абсциссы которых нас интересуют.
Прямая $y=1$ пересекает график в точках, где $x^2 = 1$, то есть при $x=-1$ и $x=1$.
Прямая $y=4$ пересекает график в точках, где $x^2 = 4$, то есть при $x=-2$ и $x=2$.
Часть графика, для которой значения $y$ находятся между 1 и 4, заключена между этими двумя горизонтальными прямыми. Этим значениям $y$ соответствуют значения $x$ из двух интервалов: от -2 до -1 и от 1 до 2. Таким образом, значения аргумента принадлежат объединению интервалов $(-2, -1) \cup (1, 2)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$.

в) наименьшее значение функции

График функции $y=x^2$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Самая нижняя точка такого графика - это его вершина. Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке с координатами (0, 0). Наименьшее значение функции равно ординате (координате $y$) ее вершины. Следовательно, наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: 0.

г) промежутки возрастания и убывания функции

Анализируя график функции, мы видим, что при движении по графику слева направо (от $-\infty$ к 0) значения $y$ уменьшаются. Это означает, что на этом промежутке функция убывает.
При $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения.
При дальнейшем движении по графику слева направо (от 0 к $+\infty$) значения $y$ увеличиваются. Это означает, что на этом промежутке функция возрастает.
Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.