Номер 25, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 25, страница 221.

Условие.

25 a) $\begin{cases} 8x - 12y - 12 = 0, \\ -2x + 3y + 12 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0,2x - 0,5y + 3 = 0, \\ 2,5y - x - 15 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 4,5x - 6y + 12 = 0, \\ 4y - 3x + 20 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} -0,6x + 1,4y + 15,6 = 0, \\ x - 2\frac{1}{3}y - 21 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 8x - 12y - 12 = 0 \\ -2x + 3y + 12 = 0 \end{cases} $
Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:
$ \begin{cases} 8x - 12y - 12 = 0 \\ 4(-2x + 3y + 12) = 4 \cdot 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 8x - 12y - 12 = 0 \\ -8x + 12y + 48 = 0 \end{cases} $
Теперь сложим левые и правые части уравнений системы:
$(8x - 12y - 12) + (-8x + 12y + 48) = 0 + 0$
$8x - 8x - 12y + 12y - 12 + 48 = 0$
$36 = 0$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что данная система уравнений не имеет решений. Геометрически это означает, что графики уравнений — это две параллельные прямые, которые никогда не пересекаются.
Ответ: решений нет.

б) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 0,2x - 0,5y + 3 = 0 \\ 2,5y - x - 15 = 0 \end{cases} $
Упростим уравнения, избавившись от десятичных дробей. Для этого умножим первое уравнение на 10, а второе на 2. Во втором уравнении также поменяем слагаемые местами, чтобы переменные стояли в привычном порядке.
$ \begin{cases} 10(0,2x - 0,5y + 3) = 0 \\ 2(-x + 2,5y - 15) = 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 2x - 5y + 30 = 0 \\ -2x + 5y - 30 = 0 \end{cases} $
Сложим два полученных уравнения:
$(2x - 5y + 30) + (-2x + 5y - 30) = 0$
$2x - 2x - 5y + 5y + 30 - 30 = 0$
$0 = 0$
Мы получили верное числовое равенство. Это означает, что уравнения в системе являются зависимыми (одно следует из другого), и система имеет бесконечное множество решений. Все точки, лежащие на прямой, заданной любым из этих уравнений, являются решениями.
Выразим одну переменную через другую, например, $y$ через $x$ из первого преобразованного уравнения $2x - 5y + 30 = 0$:
$5y = 2x + 30$
$y = \frac{2}{5}x + 6$
Любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая этому соотношению, является решением системы.
Ответ: бесконечное множество решений; все решения можно записать в виде $(x; \frac{2}{5}x + 6)$, где $x$ — любое число.

в) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} 4,5x - 6y + 12 = 0 \\ 4y - 3x + 20 = 0 \end{cases} $
Приведем систему к более удобному для решения виду. Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби. Во втором уравнении поменяем слагаемые местами.
$ \begin{cases} 2(4,5x - 6y + 12) = 0 \\ -3x + 4y + 20 = 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 9x - 12y + 24 = 0 \\ -3x + 4y + 20 = 0 \end{cases} $
Используем метод сложения. Для этого умножим второе уравнение на 3:
$ \begin{cases} 9x - 12y + 24 = 0 \\ 3(-3x + 4y + 20) = 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 9x - 12y + 24 = 0 \\ -9x + 12y + 60 = 0 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(9x - 12y + 24) + (-9x + 12y + 60) = 0$
$9x - 9x - 12y + 12y + 24 + 60 = 0$
$84 = 0$
Получено неверное числовое равенство, следовательно, система не имеет решений.
Ответ: решений нет.

г) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} -0,6x + 1,4y + 15,6 = 0 \\ x - 2\frac{1}{3}y - 21 = 0 \end{cases} $
Преобразуем коэффициенты в уравнениях для удобства вычислений. Умножим первое уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей. Смешанную дробь во втором уравнении представим в виде неправильной: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$. Затем умножим второе уравнение на 3, чтобы избавиться от знаменателя.
$ \begin{cases} 10(-0,6x + 1,4y + 15,6) = 0 \\ 3(x - \frac{7}{3}y - 21) = 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} -6x + 14y + 156 = 0 \\ 3x - 7y - 63 = 0 \end{cases} $
Заметим, что все коэффициенты в первом уравнении четные. Разделим его на 2:
$(-6x + 14y + 156) : 2 = 0 : 2$
$-3x + 7y + 78 = 0$
Теперь система имеет вид: $ \begin{cases} -3x + 7y + 78 = 0 \\ 3x - 7y - 63 = 0 \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(-3x + 7y + 78) + (3x - 7y - 63) = 0$
$-3x + 3x + 7y - 7y + 78 - 63 = 0$
$15 = 0$
Получено неверное числовое равенство. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: решений нет.