Номер 30, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 30, страница 221.

Условие.

30 Постройте график функции $y = -x^2$. С помощью графика определите:

а) значения функции, если $x < -2$;

б) значения аргумента, если $-9 \le y < -4$;

в) наибольшее значение функции;

г) промежутки возрастания и убывания функции.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Сначала построим график функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y = -x²	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы.

Теперь, используя график, ответим на вопросы.

а) значения функции, если x < -2;

Находим на оси $x$ точку $-2$. На графике этой точке соответствует значение $y = -(-2)^2 = -4$. Нас интересуют значения $x$, которые меньше $-2$ (т.е. левее точки $x=-2$ на оси абсцисс). Двигаясь по графику влево от точки $(-2, -4)$, мы видим, что значения $y$ становятся все меньше (ветвь параболы уходит вниз в $-\infty$). Таким образом, если $x < -2$, то $y < -4$.

Ответ: $y \in (-\infty; -4)$.

б) значения аргумента, если $-9 \le y < -4$;

Найдём на оси $y$ значения $-4$ и $-9$. Проведём через эти точки воображаемые горизонтальные прямые $y=-4$ и $y=-9$. Нас интересует часть графика, расположенная между этими прямыми (включая линию $y=-9$, но не включая $y=-4$).

Прямая $y=-4$ пересекает параболу в точках, где $-x^2 = -4$, то есть при $x = -2$ и $x = 2$.

Прямая $y=-9$ пересекает параболу в точках, где $-x^2 = -9$, то есть при $x = -3$ и $x = 3$.

Условию $-9 \le y < -4$ соответствуют две части параболы. Первая часть находится между $x=-3$ и $x=-2$. Вторая — между $x=2$ и $x=3$. Так как неравенство для $y$ строгое со стороны $-4$ ($y < -4$), то значения $x=\pm2$ не включаются. Так как неравенство для $y$ нестрогое со стороны $-9$ ($-9 \le y$), то значения $x=\pm3$ включаются.

Таким образом, значения аргумента принадлежат двум промежуткам: от $-3$ (включительно) до $-2$ (не включительно) и от $2$ (не включительно) до $3$ (включительно).

Ответ: $x \in [-3; -2) \cup (2; 3]$.

в) наибольшее значение функции;

Наибольшее значение функции — это самая высокая точка на графике. Для параболы $y = -x^2$ вершина является точкой максимума. Вершина находится в точке $(0, 0)$. Следовательно, наибольшее значение, которое может принимать функция, равно $0$. Это достигается при $x=0$.

Ответ: $y_{наиб} = 0$.

г) промежутки возрастания и убывания функции.

Функция возрастает на промежутке, где при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается (график идёт вверх, если смотреть слева направо).

Функция убывает на промежутке, где при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается (график идёт вниз, если смотреть слева направо).

На графике $y = -x^2$ видно, что до вершины (при $x < 0$) функция возрастает. После прохождения вершины (при $x > 0$) функция убывает. Точка $x=0$ является точкой максимума (точкой перегиба для монотонности).

Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.

Промежуток убывания: $[0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.