Номер 36, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 36, страница 222.

Условие.

36 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} x^2, \text{ если } -3 \le x \le 0, \\ -3x, \text{ если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

С помощью графика найдите:

а) $f(-1), f(1), f(2);$

б) значения $x$, при которых $f(x) = 0, f(x) = 4, f(x) = -6;$

в) область определения функции;

г) множество значений функции.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Задача состоит в построении графика кусочно-заданной функции и нахождении её характеристик по графику.

Функция задана следующим образом:

$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } -3 \le x \le 0, \\ -3x, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases} $

Для построения графика рассмотрим каждую часть функции отдельно.

1. График функции $y = x^2$ на промежутке $[-3, 0]$.

Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Построим её по точкам:

— При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$. Точка $(-3, 9)$.

— При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.

— При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.

— При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Крайние точки $(-3, 9)$ и $(0, 0)$ принадлежат графику, так как неравенства нестрогие.

2. График функции $y = -3x$ на промежутке $(0, 3]$.

Это часть прямой. Для её построения достаточно двух точек:

— При $x=3$, $y = -3 \cdot 3 = -9$. Точка $(3, -9)$. Эта точка принадлежит графику.

— Точка при $x=0$ является "выколотой", так как неравенство строгое ($x>0$). Координаты этой точки $(0, 0)$.

Объединение графиков:

Совмещаем оба графика на одной координатной плоскости. Точка $(0, 0)$ является общей. Поскольку она включена в первую часть функции, на итоговом графике она будет закрашенной.

Ниже представлен итоговый график функции $y = f(x)$.

С помощью графика найдём:

а) $f(-1), f(1), f(2)$

Для нахождения значений функции по графику, находим на оси $Ox$ заданное значение аргумента, проводим вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси $Oy$. Полученное значение на оси $Oy$ и будет значением функции. Также можно воспользоваться аналитическим заданием функции.

— Для нахождения $f(-1)$, заметим, что $x=-1$ принадлежит промежутку $[-3, 0]$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x^2$. $f(-1) = (-1)^2 = 1$. На графике это точка $(-1, 1)$.

— Для нахождения $f(1)$, заметим, что $x=1$ принадлежит промежутку $(0, 3]$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -3x$. $f(1) = -3 \cdot 1 = -3$. На графике это точка $(1, -3)$.

— Для нахождения $f(2)$, заметим, что $x=2$ принадлежит промежутку $(0, 3]$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -3x$. $f(2) = -3 \cdot 2 = -6$. На графике это точка $(2, -6)$.

Ответ: $f(-1) = 1$, $f(1) = -3$, $f(2) = -6$.

б) значения $x$, при которых $f(x) = 0, f(x) = 4, f(x) = -6$

Для нахождения значений $x$ по заданным значениям функции, находим на оси $Oy$ заданное значение, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точек пересечения опускаем перпендикуляры на ось $Ox$.

— Найдём $x$, при которых $f(x) = 0$. Прямая $y=0$ пересекает график в точке $(0, 0)$, что соответствует $x=0$. Аналитически: $x^2 = 0 \implies x=0$ (входит в промежуток $[-3, 0]$), а $-3x = 0 \implies x=0$ (не входит в промежуток $(0, 3]$). Значит, $x=0$.

— Найдём $x$, при которых $f(x) = 4$. Прямая $y=4$ пересекает параболическую часть графика в точке $(-2, 4)$. Аналитически: $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Промежутку $[-3, 0]$ принадлежит только $x=-2$. Уравнение $-3x = 4$ даёт $x = -4/3$, что не входит в промежуток $(0, 3]$. Значит, $x=-2$.

— Найдём $x$, при которых $f(x) = -6$. Прямая $y=-6$ пересекает прямолинейную часть графика в точке $(2, -6)$. Аналитически: $x^2 = -6$ не имеет действительных корней. Уравнение $-3x = -6$ даёт $x=2$, что входит в промежуток $(0, 3]$. Значит, $x=2$.

Ответ: при $f(x)=0, x=0$; при $f(x)=4, x=-2$; при $f(x)=-6, x=2$.

в) область определения функции

Область определения функции $D(f)$ — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Функция задана на промежутках $[-3, 0]$ и $(0, 3]$. Объединив эти промежутки, получим область определения.

$D(f) = [-3, 0] \cup (0, 3] = [-3, 3]$.

Ответ: $D(f) = [-3, 3]$.

г) множество значений функции

Множество значений функции $E(f)$ — это множество всех значений $y$, которые принимает функция. Найдем множество значений для каждой части графика.

— На промежутке $x \in [-3, 0]$, функция $y=x^2$ монотонно убывает от $f(-3)=9$ до $f(0)=0$. Множество значений на этом участке — $[0, 9]$.

— На промежутке $x \in (0, 3]$, функция $y=-3x$ монотонно убывает от значения, близкого к $0$, до $f(3)=-9$. Множество значений на этом участке — $[-9, 0)$.

Объединяя множества значений с обоих участков, получаем полное множество значений функции:

$E(f) = [-9, 0) \cup [0, 9] = [-9, 9]$.

Ответ: $E(f) = [-9, 9]$.