Номер 31, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Функции и графики. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 31, страница 222.

Условие.

31 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2$:

a) на отрезке $[0; 2]$;

б) на полуинтервале $(-1,2; 3]$;

в) на луче $(-\infty; -2]$;

г) на луче $[-1; +\infty)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^2$ на заданных промежутках, проанализируем её свойства. График функции — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. Глобальный минимум функции достигается в точке $x=0$ и равен $y(0)=0$.

а) на отрезке [0; 2]

Данный отрезок $[0; 2]$ расположен на промежутке возрастания функции $y=x^2$, так как для всех $x$ из этого отрезка выполняется условие $x \ge 0$. На возрастающем участке функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Наибольшее значение функции:

$y_{наиб} = y(2) = 2^2 = 4$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 4.

б) на полуинтервале (–1,2; 3]

Данный полуинтервал $(-1,2; 3]$ включает в себя точку минимума функции $x=0$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно значению в этой точке.

Наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Чтобы найти наибольшее значение, необходимо сравнить значения функции на концах полуинтервала. Поскольку вершина параболы находится в точке $x=0$, наибольшее значение будет достигаться в той точке интервала, которая наиболее удалена от нуля. Сравним $|-1,2|$ и $|3|$.

$|3| = 3$, а $|-1,2| = 1,2$.

Так как $3 > 1,2$, наибольшее значение будет в точке $x=3$. Эта точка включена в полуинтервал.

Наибольшее значение функции:

$y_{наиб} = y(3) = 3^2 = 9$.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 9.

в) на луче (–∞; –2]

На данном луче $(-\infty; -2]$ функция $y=x^2$ является монотонно убывающей (так как для всех $x$ из этого луча $x < 0$). На убывающем участке наименьшее значение достигается в самой правой точке промежутка.

Наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(-2) = (-2)^2 = 4$.

Так как луч уходит в минус бесконечность, значения $x$ не ограничены снизу. При $x \to -\infty$, значение функции $y = x^2 \to +\infty$. Это означает, что функция может принимать сколь угодно большие значения, и наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшего значения не существует.

г) на луче [–1; +∞)

Данный луч $[-1; +\infty)$ включает в себя точку минимума функции $x=0$. Таким образом, наименьшее значение функции на этом луче будет достигаться именно в этой точке.

Наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Так как луч уходит в плюс бесконечность, значения $x$ не ограничены сверху. При $x \to +\infty$, значение функции $y = x^2 \to +\infty$. Это означает, что функция может принимать сколь угодно большие значения, и наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.