Номер 27, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Функции и графики. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 27, страница 221.

Условие.

27 Постройте график функции $y = x^2$. С помощью графика определите:

а) значения функции, если значение аргумента равно -1; 0,5; 2,5;

б) значения аргумента при значении функции, равном 4; 0; 9;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; -1];$

г) значения $x$, при которых $y < 4$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = x^2$ составим таблицу значений для нескольких точек. Графиком этой функции является парабола, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке (0, 0).

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y = x²	9	4	1	0	1	4	9

Построим параболу, соединив эти точки плавной линией. Далее все значения будем определять по этому графику.

а) значения функции, если значение аргумента равно –1; 0,5; 2,5;
Чтобы найти значение функции (y) по значению аргумента (x), нужно найти заданную точку на оси OX, провести от нее вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси OY. Точка на оси OY и будет искомым значением функции.

• Если $x = -1$, находим на оси OX точку -1. Поднимаемся до графика и видим, что соответствующее значение на оси OY равно 1. Расчет: $y = (-1)^2 = 1$.
• Если $x = 0,5$, находим на оси OX точку 0,5. Поднимаемся до графика и видим, что y находится между 0 и 1, примерно 0,25. Расчет: $y = (0,5)^2 = 0,25$.
• Если $x = 2,5$, находим на оси OX точку 2,5. Поднимаемся до графика и видим, что y находится между 6 и 7, примерно 6,25. Расчет: $y = (2,5)^2 = 6,25$.

Ответ: при $x = -1, y = 1$; при $x = 0,5, y = 0,25$; при $x = 2,5, y = 6,25$.

б) значения аргумента при значении функции, равном 4; 0; 9;
Чтобы найти значение аргумента (x) по значению функции (y), нужно найти заданную точку на оси OY, провести через нее горизонтальную линию до пересечения с графиком. От точек пересечения опустить перпендикуляры на ось OX. Точки на оси OX и будут искомыми значениями аргумента.

• Если $y = 4$, проводим горизонтальную линию $y=4$. Она пересекает параболу в двух точках. Опуская перпендикуляры на ось OX, получаем значения $x = -2$ и $x = 2$. Расчет: $x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
• Если $y = 0$, горизонтальная линия $y=0$ совпадает с осью OX и касается параболы в одной точке — ее вершине. Значение аргумента $x=0$. Расчет: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.
• Если $y = 9$, проводим горизонтальную линию $y=9$. Она пересекает параболу в двух точках. Соответствующие значения на оси OX: $x = -3$ и $x = 3$. Расчет: $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.

Ответ: при $y = 4, x = 2$ и $x = -2$; при $y = 0, x = 0$; при $y = 9, x = 3$ и $x = -3$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; –1];
Рассмотрим часть графика, где $x$ изменяется от -2 до -1. Это ветвь параболы, которая убывает.

• Наибольшее значение на этом отрезке будет в его левой границе, то есть при $x = -2$. Значение функции в этой точке: $y = (-2)^2 = 4$.
• Наименьшее значение будет в правой границе отрезка, то есть при $x = -1$. Значение функции в этой точке: $y = (-1)^2 = 1$.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке $[-2; -1]$ равно 4 (достигается при $x = -2$), наименьшее значение равно 1 (достигается при $x = -1$).

г) значения x, при которых y < 4.
Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y = x^2$ лежит ниже прямой $y=4$.
Из пункта б) мы знаем, что график пересекает прямую $y=4$ в точках $x=-2$ и $x=2$.
По графику видно, что парабола находится ниже этой прямой между точками пересечения.
Следовательно, неравенство $y < 4$ выполняется для всех $x$, находящихся в интервале от -2 до 2.
Решим неравенство аналитически: $x^2 < 4 \Rightarrow x^2 - 4 < 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) < 0$. Это неравенство верно, когда $x$ находится между корнями, то есть $-2 < x < 2$.
Ответ: $y < 4$ при $x \in (-2; 2)$.