Номер 28, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 28, страница 221.

Условие.

28 Постройте график функции $y = -x^2$. С помощью графика определите:

а) значения функции, если значение аргумента равно $-3; 1,5; 2$;

б) значения аргумента при значении функции, равном $-1; 0; -9$;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-1; 2]$;

г) значения $x$, при которых $y \le -9$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = -x^2$ составим таблицу значений. Эта функция является параболой, симметричной относительно оси Oy, с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вниз.

x	-3	-2	-1	0	1	1,5	2	3
y = -x²	-9	-4	-1	0	-1	-2,25	-4	-9

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

а) значения функции, если значение аргумента равно –3; 1,5; 2
Находим на графике точки, абсциссы которых равны –3, 1,5 и 2. Ординаты этих точек и будут искомыми значениями функции.
- Если $x = -3$, находим на оси Ox точку -3, поднимаемся/опускаемся до графика и движемся к оси Oy. Получаем $y = -9$. Расчет: $y = -(-3)^2 = -9$.
- Если $x = 1,5$, находим на оси Ox точку 1,5, опускаемся до графика и движемся к оси Oy. Получаем $y = -2,25$. Расчет: $y = -(1,5)^2 = -2,25$.
- Если $x = 2$, находим на оси Ox точку 2, опускаемся до графика и движемся к оси Oy. Получаем $y = -4$. Расчет: $y = -(2)^2 = -4$.
Ответ: при $x = -3$, $y = -9$; при $x = 1,5$, $y = -2,25$; при $x = 2$, $y = -4$.

б) значения аргумента при значении функции, равном –1; 0; –9
Находим на графике точки, ординаты которых равны –1, 0 и –9. Абсциссы этих точек и будут искомыми значениями аргумента.
- Если $y = -1$, проводим горизонтальную прямую $y = -1$. Она пересекает параболу в двух точках с абсциссами $x = -1$ и $x = 1$. Расчет: $-1 = -x^2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
- Если $y = 0$, то это вершина параболы, где $x = 0$. Расчет: $0 = -x^2 \Rightarrow x = 0$.
- Если $y = -9$, проводим горизонтальную прямую $y = -9$. Она пересекает параболу в двух точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 3$. Расчет: $-9 = -x^2 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
Ответ: при $y = -1$, $x = -1$ или $x = 1$; при $y = 0$, $x = 0$; при $y = -9$, $x = -3$ или $x = 3$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 2]
Рассмотрим часть графика, соответствующую отрезку $x \in [-1; 2]$.
Наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в самой высокой точке. Поскольку вершина параболы (0, 0) принадлежит этому отрезку, а ветви направлены вниз, то наибольшее значение равно 0.
Наименьшее значение ищем на концах отрезка.
При $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$.
При $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$.
Сравнивая значения на концах отрезка (-1 и -4), видим, что наименьшее из них равно -4.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке [-1; 2] равно 0 (при $x=0$), наименьшее значение равно -4 (при $x=2$).

г) значения x, при которых y ≤ –9
Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y = -x^2$ находится на уровне прямой $y = -9$ или ниже ее.
Из пункта б) мы знаем, что $y = -9$ при $x = -3$ и $x = 3$.
Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции будут меньше -9 при удалении от вершины, то есть при $|x| > 3$.
Таким образом, условие $y \le -9$ выполняется, когда $x \le -3$ или $x \ge 3$.
Решим неравенство аналитически:
$-x^2 \le -9$
$x^2 \ge 9$
$|x| \ge 3$
Это соответствует $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $y \le -9$ при $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.