Номер 35, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 35, страница 222.

Условие.

35 Решите графически неравенство:

a) $x^2 > 4$;

б) $-x^2 \ge x - 2$;

в) $-x^2 \ge -9$;

г) $x^2 < 2 + x$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) $x^2 > 4$

Чтобы решить неравенство графически, необходимо построить в одной системе координат графики функций, соответствующих левой и правой частям неравенства: $y = x^2$ и $y = 4$.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола, вершина которой находится в начале координат (0, 0), а ветви направлены вверх.

2. График функции $y = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку (0, 4).

Далее найдем точки пересечения этих двух графиков. для этого решим уравнение $x^2 = 4$.
$x_1 = \sqrt{4} = 2$
$x_2 = -\sqrt{4} = -2$
Таким образом, графики пересекаются в точках с абсциссами $x = -2$ и $x = 2$.

Неравенство $x^2 > 4$ выполняется для тех значений $x$, при которых график параболы $y = x^2$ расположен выше графика прямой $y = 4$. Глядя на построенные графики, мы видим, что это происходит на двух промежутках: слева от точки пересечения $x = -2$ и справа от точки пересечения $x = 2$. Так как неравенство строгое ($>$), сами точки пересечения в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$

б) $-x^2 \ge x - 2$

Рассмотрим две функции: $y = -x^2$ и $y = x - 2$. Построим их графики в одной системе координат.

1. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз.

2. График функции $y = x - 2$ — это прямая. для ее построения найдем две точки, например: при $x=0$, $y=-2$ (точка (0, -2)); при $x=2$, $y=0$ (точка (2, 0)).

Найдем абсциссы точек пересечения графиков, решив уравнение:
$-x^2 = x - 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
Используя теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Решением неравенства $-x^2 \ge x - 2$ являются те значения $x$, для которых график параболы $y = -x^2$ расположен не ниже (то есть выше или на том же уровне) графика прямой $y = x - 2$. Из графика видно, что это условие выполняется на отрезке между точками пересечения. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), концы отрезка (сами точки пересечения) включаются в решение.

Ответ: $x \in [-2; 1]$

в) $-x^2 \ge -9$

Для графического решения построим графики функций $y = -x^2$ и $y = -9$.

1. График $y = -x^2$ — парабола с вершиной в начале координат, ветвями вниз.

2. График $y = -9$ — прямая, параллельная оси Ox, проходящая через точку (0, -9).

Найдем точки пересечения, решив уравнение $-x^2 = -9$, что эквивалентно $x^2 = 9$.
Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Мы ищем значения $x$, при которых график параболы $y = -x^2$ находится не ниже (выше или на одном уровне) прямой $y = -9$. По графику видно, что парабола находится выше прямой на промежутке между точками пересечения. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x=-3$ и $x=3$ включаются в решение.

Ответ: $x \in [-3; 3]$

г) $x^2 < 2 + x$

Перепишем неравенство в виде $x^2 < x + 2$. Построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = x + 2$.

1. $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в (0, 0) и ветвями вверх.

2. $y = x + 2$ — прямая, проходящая, например, через точки (0, 2) и (-2, 0).

Найдем абсциссы точек пересечения, решив уравнение:
$x^2 = x + 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Неравенство $x^2 < x + 2$ выполняется для тех $x$, при которых график параболы $y = x^2$ лежит ниже графика прямой $y = x + 2$. Из графиков видно, что это происходит на интервале между точками пересечения. Неравенство строгое ($<$), поэтому концы интервала в решение не входят.

Ответ: $x \in (-1; 2)$