Номер 26, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Функции и графики. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 26, страница 221.

Условие.

26 При каких значениях $a, b, c$ график уравнения $ax + by + c = 0$:

а) проходит через начало координат;

б) расположен параллельно оси $x$;

в) расположен параллельно оси $y$;

г) совпадает с осями координат?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Рассмотрим общее уравнение прямой $ax + by + c = 0$. Графиком этого уравнения является прямая при условии, что коэффициенты $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, то есть $a^2 + b^2 \neq 0$.

а) проходит через начало координат

График уравнения проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, если её координаты удовлетворяют уравнению. Подставим $x = 0$ и $y = 0$ в исходное уравнение:
$a \cdot 0 + b \cdot 0 + c = 0$
$0 + 0 + c = 0$
$c = 0$
Таким образом, для того чтобы прямая проходила через начало координат, свободный член $c$ должен быть равен нулю. При этом, как было сказано, $a$ и $b$ не могут быть равны нулю одновременно.
Ответ: $c = 0$ (при условии, что $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, то есть $a^2 + b^2 \neq 0$).

б) расположен параллельно оси x

Прямая, параллельная оси $x$, является горизонтальной и задается уравнением вида $y = k$, где $k$ — некоторая константа. Угол наклона такой прямой к оси $x$ равен нулю.
Если $b \neq 0$, мы можем выразить $y$ из исходного уравнения:
$by = -ax - c$
$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$
Угловой коэффициент этой прямой равен $-\frac{a}{b}$. Для того чтобы прямая была параллельна оси $x$, её угловой коэффициент должен быть равен нулю.
$-\frac{a}{b} = 0 \implies a = 0$.
При $a = 0$ и $b \neq 0$ уравнение принимает вид $by + c = 0$, или $y = -\frac{c}{b}$. Это уравнение горизонтальной прямой.
Так как в пункте г) рассматривается случай совпадения с осями, в данном пункте будем считать, что прямая не совпадает с осью $x$. Ось $x$ имеет уравнение $y = 0$. Это происходит, когда $c = 0$. Следовательно, для параллельности без совпадения необходимо, чтобы $c \neq 0$.
Ответ: $a = 0, b \neq 0, c \neq 0$.

в) расположен параллельно оси y

Прямая, параллельная оси $y$, является вертикальной и задается уравнением вида $x = k$, где $k$ — некоторая константа.
В уравнении $ax + by + c = 0$ для получения вертикальной прямой необходимо, чтобы коэффициент при $y$ был равен нулю, то есть $b = 0$.
При $b = 0$ (и $a \neq 0$, чтобы уравнение оставалось уравнением прямой), уравнение принимает вид:
$ax + c = 0$
$x = -\frac{c}{a}$
Это уравнение вертикальной прямой.
Аналогично пункту б), будем считать, что прямая не совпадает с осью $y$. Ось $y$ имеет уравнение $x = 0$. Совпадение происходит при $c = 0$. Значит, для параллельности без совпадения необходимо, чтобы $c \neq 0$.
Ответ: $b = 0, a \neq 0, c \neq 0$.

г) совпадает с осями координат

Этот случай подразумевает два варианта: совпадение с осью $x$ или совпадение с осью $y$.

1. Совпадение с осью x:
Уравнение оси $x$ — это $y = 0$. Как мы выяснили в пункте б), для того чтобы прямая $ax + by + c = 0$ была горизонтальной, необходимо, чтобы $a = 0$ и $b \neq 0$. Уравнение становится $y = -\frac{c}{b}$. Чтобы эта прямая совпала с осью $x$, нужно, чтобы $-\frac{c}{b} = 0$, что эквивалентно $c = 0$.
Таким образом, для совпадения с осью $x$ должны выполняться условия: $a = 0, c = 0, b \neq 0$.

2. Совпадение с осью y:
Уравнение оси $y$ — это $x = 0$. Как мы выяснили в пункте в), для того чтобы прямая $ax + by + c = 0$ была вертикальной, необходимо, чтобы $b = 0$ и $a \neq 0$. Уравнение становится $x = -\frac{c}{a}$. Чтобы эта прямая совпала с осью $y$, нужно, чтобы $-\frac{c}{a} = 0$, что эквивалентно $c = 0$.
Таким образом, для совпадения с осью $y$ должны выполняться условия: $b = 0, c = 0, a \neq 0$.

Ответ: График совпадает с осью $x$ при $a = 0, c = 0, b \neq 0$. График совпадает с осью $y$ при $b = 0, c = 0, a \neq 0$.