Номер 22, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Функции и графики. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 22, страница 220.

Условие.

22 Используя графический метод, решите неравенство:

a) $4x + 8 < 0;$

б) $-3x - 7 \le 2;$

в) $2x - 10 \ge 0;$

г) $-x + 6 > 4.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а)
Для решения неравенства $4x + 8 < 0$ графическим методом введем две функции: $y_1 = 4x + 8$ и $y_2 = 0$.
График функции $y_1 = 4x + 8$ представляет собой прямую. Для её построения достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y_1 = 8$; если $x = -2$, то $y_1 = 4(-2) + 8 = 0$. Таким образом, у нас есть точки $(0, 8)$ и $(-2, 0)$.
График функции $y_2 = 0$ — это ось абсцисс (ось Ox).
Точка пересечения двух графиков находится из уравнения $4x + 8 = 0$, решением которого является $x = -2$.
Нам нужно найти такие значения $x$, при которых выполняется условие $y_1 < y_2$, то есть график функции $y_1 = 4x + 8$ расположен ниже оси Ox.
Поскольку угловой коэффициент прямой $y_1 = 4x + 8$ положителен ($k=4$), функция является возрастающей. Это значит, что её значения меньше нуля (график ниже оси Ox) для всех $x$, которые находятся левее точки пересечения.
Таким образом, решением неравенства является интервал $x < -2$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

б)
Для решения неравенства $-3x - 7 \le 2$ графическим методом введем две функции: $y_1 = -3x - 7$ и $y_2 = 2$.
График функции $y_1 = -3x - 7$ — это прямая. Найдем две точки для её построения. Если $x = 0$, то $y_1 = -7$; если $x = -3$, то $y_1 = -3(-3) - 7 = 9 - 7 = 2$. Получаем точки $(0, -7)$ и $(-3, 2)$.
График функции $y_2 = 2$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 2)$.
Точка пересечения графиков находится из уравнения $-3x - 7 = 2$. Решая его, получаем: $-3x = 9$, откуда $x = -3$.
Нам нужно найти значения $x$, для которых $y_1 \le y_2$, то есть график функции $y_1 = -3x - 7$ расположен на или ниже прямой $y_2 = 2$.
Поскольку угловой коэффициент прямой $y_1 = -3x - 7$ отрицателен ($k=-3$), функция является убывающей. Это значит, что её значения меньше или равны 2 для всех $x$, которые находятся в точке пересечения или правее неё.
Таким образом, решением неравенства является промежуток $x \ge -3$.
Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

в)
Для решения неравенства $2x - 10 \ge 0$ графическим методом введем две функции: $y_1 = 2x - 10$ и $y_2 = 0$.
График функции $y_1 = 2x - 10$ — это прямая. Для её построения найдем две точки. Если $x = 0$, то $y_1 = -10$; если $x = 5$, то $y_1 = 2 \cdot 5 - 10 = 0$. Получаем точки $(0, -10)$ и $(5, 0)$.
График функции $y_2 = 0$ — это ось абсцисс (ось Ox).
Точка пересечения графиков находится из уравнения $2x - 10 = 0$, решением которого является $x = 5$.
Нам нужно найти значения $x$, для которых $y_1 \ge y_2$, то есть график функции $y_1 = 2x - 10$ расположен на или выше оси Ox.
Поскольку угловой коэффициент прямой $y_1 = 2x - 10$ положителен ($k=2$), функция является возрастающей. Это значит, что её значения больше или равны нулю для всех $x$, которые находятся в точке пересечения или правее неё.
Таким образом, решением неравенства является промежуток $x \ge 5$.
Ответ: $x \in [5; +\infty)$.

г)
Для решения неравенства $-x + 6 > 4$ графическим методом введем две функции: $y_1 = -x + 6$ и $y_2 = 4$.
График функции $y_1 = -x + 6$ — это прямая. Найдем две точки для её построения. Если $x = 0$, то $y_1 = 6$; если $x = 2$, то $y_1 = -2 + 6 = 4$. Получаем точки $(0, 6)$ и $(2, 4)$.
График функции $y_2 = 4$ — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, 4)$.
Точка пересечения графиков находится из уравнения $-x + 6 = 4$. Решая его, получаем: $-x = -2$, откуда $x = 2$.
Нам нужно найти значения $x$, для которых $y_1 > y_2$, то есть график функции $y_1 = -x + 6$ расположен выше прямой $y_2 = 4$.
Поскольку угловой коэффициент прямой $y_1 = -x + 6$ отрицателен ($k=-1$), функция является убывающей. Это значит, что её значения больше 4 для всех $x$, которые находятся левее точки пересечения.
Таким образом, решением неравенства является интервал $x < 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.