Номер 17, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Функции и графики. Итоговое повторение. Часть 2 - номер 17, страница 219.

Условие.

17 Найдите точку пересечения прямых графическим и аналитическим методами:

а) $y = 3x - 4$ и $y = x;$

б) $y = \frac{1}{3}x - 3$ и $y = -x + 1;$

в) $y = -2x$ и $y = 0,5x + 5;$

г) $y = -5x - 2$ и $y = x + 4.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) $y = 3x - 4$ и $y = x$

Аналитический метод:

Для нахождения точки пересечения необходимо решить систему уравнений. Приравняем правые части уравнений, так как в точке пересечения координаты $x$ и $y$ у обеих прямых совпадают:

$3x - 4 = x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения в другую:

$3x - x = 4$

$2x = 4$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Используем второе, более простое уравнение $y = x$:

$y = 2$

Таким образом, аналитически найденная точка пересечения имеет координаты $(2, 2)$.

Графический метод:

Для построения графика каждой прямой найдем координаты двух точек. Для прямой $y = 3x - 4$: при $x=0, y = -4$ (точка $(0, -4)$) и при $x=2, y=2$ (точка $(2, 2)$). Для прямой $y = x$: при $x=0, y=0$ (точка $(0, 0)$) и при $x=2, y=2$ (точка $(2, 2)$). Построив эти две прямые на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в точке $(2, 2)$.

Ответ: (2, 2)

б) $y = \frac{1}{3}x - 3$ и $y = -x + 1$

Аналитический метод:

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{1}{3}x - 3 = -x + 1$

Соберем слагаемые с $x$ в левой части, а константы в правой:

$\frac{1}{3}x + x = 1 + 3$

$\frac{4}{3}x = 4$

$x = 4 \cdot \frac{3}{4}$

$x = 3$

Подставим $x=3$ в уравнение $y = -x + 1$:

$y = -3 + 1 = -2$

Точка пересечения имеет координаты $(3, -2)$.

Графический метод:

Найдем по две точки для каждой прямой. Для прямой $y = \frac{1}{3}x - 3$: при $x=0, y = -3$ (точка $(0, -3)$) и при $x=3, y = -2$ (точка $(3, -2)$). Для прямой $y = -x + 1$: при $x=0, y = 1$ (точка $(0, 1)$) и при $x=3, y = -2$ (точка $(3, -2)$). Построив графики на координатной плоскости, увидим, что они пересекаются в точке $(3, -2)$.

Ответ: (3, -2)

в) $y = -2x$ и $y = 0,5x + 5$

Аналитический метод:

Приравняем правые части уравнений:

$-2x = 0.5x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:

$-2x - 0.5x = 5$

$-2.5x = 5$

$x = \frac{5}{-2.5}$

$x = -2$

Подставим $x = -2$ в уравнение $y = -2x$:

$y = -2(-2) = 4$

Точка пересечения имеет координаты $(-2, 4)$.

Графический метод:

Найдем точки для построения графиков. Для прямой $y = -2x$: при $x=0, y = 0$ (точка $(0, 0)$) и при $x=-2, y = 4$ (точка $(-2, 4)$). Для прямой $y = 0.5x + 5$: при $x=0, y = 5$ (точка $(0, 5)$) и при $x=-2, y = 4$ (точка $(-2, 4)$). Нанеся точки на координатную плоскость и проведя через них прямые, мы увидим, что точка их пересечения — $(-2, 4)$.

Ответ: (-2, 4)

г) $y = -5x - 2$ и $y = x + 4$

Аналитический метод:

Приравняем правые части уравнений:

$-5x - 2 = x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$-5x - x = 4 + 2$

$-6x = 6$

$x = -1$

Подставим $x=-1$ в уравнение $y = x + 4$:

$y = -1 + 4 = 3$

Точка пересечения имеет координаты $(-1, 3)$.

Графический метод:

Найдем точки для построения графиков. Для прямой $y = -5x - 2$: при $x=0, y = -2$ (точка $(0, -2)$) и при $x=-1, y = 3$ (точка $(-1, 3)$). Для прямой $y = x + 4$: при $x=0, y = 4$ (точка $(0, 4)$) и при $x=-1, y = 3$ (точка $(-1, 3)$). Построив графики, увидим, что они пересекаются в точке $(-1, 3)$.

Ответ: (-1, 3)