Номер 12, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 12, страница 218.

Условие.

12 Постройте график функции $y = 2x - 2$. С помощью графика найдите:

а) координаты точек пересечения прямой с осью $x$ и осью $y$;

б) значения аргумента, при которых $y > 0$, $y < 0$;

в) значения $y$, которые соответствуют значениям $x$, удовлетворяющим неравенству $-1 \le x \le 2$;

г) промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 6$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = 2x - 2$ найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой. Данная функция является линейной, поэтому ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $y$). Для этого примем $x = 0$:
$y = 2 \cdot 0 - 2 = -2$.
Получаем точку с координатами $(0, -2)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $x$). Для этого примем $y = 0$:
$0 = 2x - 2$
$2x = 2$
$x = 1$.
Получаем точку с координатами $(1, 0)$.
Отметим точки $(0, -2)$ и $(1, 0)$ на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая является графиком функции $y = 2x - 2$.

а) Найдем координаты точек пересечения прямой с осью $x$ и осью $y$.
Эти точки были найдены при построении графика.
Точка пересечения с осью $x$ имеет координату $y=0$, что дает нам точку $(1, 0)$.
Точка пересечения с осью $y$ имеет координату $x=0$, что дает нам точку $(0, -2)$.
Ответ: точка пересечения с осью $x$ — $(1, 0)$; точка пересечения с осью $y$ — $(0, -2)$.

б) Найдем значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.
Используя график, мы видим, что значения функции (y) положительны, когда график находится выше оси $x$. Это происходит для всех точек, расположенных правее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x > 1$.
Значения функции (y) отрицательны, когда график находится ниже оси $x$. Это происходит для всех точек, расположенных левее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x < 1$.
Проверим это алгебраически:
$y > 0 \implies 2x - 2 > 0 \implies 2x > 2 \implies x > 1$.
$y < 0 \implies 2x - 2 < 0 \implies 2x < 2 \implies x < 1$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.

в) Найдем значения $y$, которые соответствуют значениям $x$, удовлетворяющим неравенству $-1 \le x \le 2$.
Нам нужно найти область значений функции на отрезке $x \in [-1; 2]$. Так как функция $y = 2x - 2$ возрастающая (угловой коэффициент $k=2 > 0$), наименьшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $x$, а наибольшее значение $y$ — при наибольшем значении $x$.
Вычислим значения $y$ на концах отрезка:
при $x = -1$: $y = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$.
при $x = 2$: $y = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.
Следовательно, для $x \in [-1; 2]$ значения $y$ находятся в промежутке $[-4; 2]$.
Ответ: значения $y$ принадлежат промежутку $[-4; 2]$, то есть $-4 \le y \le 2$.

г) Найдем промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если $y_{наим} = -1, y_{наиб} = 6$.
Это обратная задача: нам дан диапазон значений функции $y \in [-1; 6]$, и нужно найти соответствующий диапазон значений аргумента $x$.
Найдем $x$, соответствующий $y = -1$:
$-1 = 2x - 2$
$2x = 1$
$x = 0.5$.
Найдем $x$, соответствующий $y = 6$:
$6 = 2x - 2$
$2x = 8$
$x = 4$.
Поскольку функция возрастающая, промежутку значений $y \in [-1; 6]$ соответствует промежуток значений $x \in [0.5; 4]$.
Ответ: переменная $x$ принадлежит промежутку $[0.5; 4]$, то есть $0.5 \le x \le 4$.