Номер 13, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение. Функции и графики - номер 13, страница 219.

Условие.

13 Постройте график функции $y = -0,5x + 2$. С помощью графика найдите:

а) координаты точек пересечения прямой с осью $x$ и осью $y$;

б) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$;

в) значения $y$, которые соответствуют значениям $x$, удовлетворяющим неравенству $-2 < x < 2$;

г) промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если $y_{\text{наим}} = -1, y_{\text{наиб}} = 4$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = -0,5x + 2$ найдем координаты двух точек. Так как функция линейная, ее график — прямая линия.

1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x = 0$ в уравнение:
$y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$.
Первая точка имеет координаты $(0; 2)$.

2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$, подставив $y = 0$ в уравнение:
$0 = -0,5x + 2$
$0,5x = 2$
$x = 4$.
Вторая точка имеет координаты $(4; 0)$.

Отметив точки $(0; 2)$ и $(4; 0)$ на координатной плоскости и соединив их прямой, мы получим график заданной функции. Далее, используя этот график и аналитические вычисления, ответим на поставленные вопросы.

а) координаты точек пересечения прямой с осью x и осью y;

Точка пересечения с осью $Ox$ — это точка, в которой $y = 0$. Из наших вычислений выше, это точка с координатами $(4; 0)$.
Точка пересечения с осью $Oy$ — это точка, в которой $x = 0$. Из наших вычислений выше, это точка с координатами $(0; 2)$.

Ответ: с осью $Ox$: $(4; 0)$; с осью $Oy$: $(0; 2)$.

б) значения аргумента, при которых $y > 0$, $y < 0$;

Значения $y > 0$ (положительные) соответствуют части графика, которая находится выше оси $Ox$. Это происходит для всех точек прямой, у которых абсцисса $x$ меньше абсциссы точки пересечения с осью $Ox$. Так как точка пересечения $(4; 0)$, то $y > 0$ при $x < 4$.
Значения $y < 0$ (отрицательные) соответствуют части графика, которая находится ниже оси $Ox$. Это происходит для всех точек прямой, у которых абсцисса $x$ больше абсциссы точки пересечения с осью $Ox$. Следовательно, $y < 0$ при $x > 4$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 4)$; $y < 0$ при $x \in (4; +\infty)$.

в) значения y, которые соответствуют значениям x, удовлетворяющим неравенству $-2 < x < 2$;

Нам нужно найти диапазон значений функции $y$ для интервала $x \in (-2; 2)$. Найдем значения $y$ на концах этого интервала:
При $x = -2$: $y = -0,5 \cdot (-2) + 2 = 1 + 2 = 3$.
При $x = 2$: $y = -0,5 \cdot 2 + 2 = -1 + 2 = 1$.
Поскольку функция $y = -0,5x + 2$ является убывающей (коэффициент при $x$ равен $-0,5$, что меньше нуля), при возрастании $x$ от $-2$ до $2$, значения $y$ будут убывать от $3$ до $1$. Так как неравенство для $x$ строгое, то и для $y$ оно будет строгим.

Ответ: $1 < y < 3$.

г) промежуток, которому принадлежит переменная x, если $y_{наим} = -1$, $y_{наиб} = 4$.

Необходимо найти промежуток для $x$, если значения $y$ находятся в пределах от $-1$ до $4$ включительно, то есть $-1 \le y \le 4$.
Найдем $x$, соответствующий $y = -1$:
$-1 = -0,5x + 2$
$-3 = -0,5x$
$x = 6$.
Найдем $x$, соответствующий $y = 4$:
$4 = -0,5x + 2$
$2 = -0,5x$
$x = -4$.
Так как функция убывающая, большему значению $y$ (равному 4) соответствует меньшее значение $x$ (равное -4), а меньшему значению $y$ (равному -1) соответствует большее значение $x$ (равное 6).

Ответ: $x \in [-4; 6]$.