Страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5 Функция задана формулой $y = kx + m$. Назовите значения коэффициентов $k, m$ и охарактеризуйте график заданной функции, если:

a) $y = -2x + 3$;

б) $y = 4x$;

в) $y = -5$;

г) $y = 0$.

а) Для функции $y = -2x + 3$ необходимо найти коэффициенты $k$ и $m$ из общей формулы линейной функции $y = kx + m$.
Сравнивая данное уравнение с общим видом, мы видим, что коэффициент при $x$ равен -2, а свободный член равен 3. Следовательно, $k = -2$ и $m = 3$.
Графиком данной функции является прямая линия.
1. Угловой коэффициент $k = -2$. Так как $k < 0$, функция является убывающей (график наклонен влево и образует тупой угол с положительным направлением оси Ox).
2. Коэффициент $m = 3$. Это означает, что график пересекает ось ординат (ось Oy) в точке с координатами $(0, 3)$.
Ответ: $k = -2$, $m = 3$. График — прямая, которая является убывающей и пересекает ось Oy в точке $(0, 3)$.

б) Для функции $y = 4x$ представим ее в общем виде $y = kx + m$. В данном случае уравнение можно записать как $y = 4x + 0$.
Отсюда, коэффициент $k = 4$ и коэффициент $m = 0$.
Графиком функции является прямая.
1. Угловой коэффициент $k = 4$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей (график наклонен вправо и образует острый угол с положительным направлением оси Ox).
2. Коэффициент $m = 0$. Это означает, что график проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Такая функция называется прямой пропорциональностью.
Ответ: $k = 4$, $m = 0$. График — прямая, которая является возрастающей и проходит через начало координат.

в) Для функции $y = -5$ представим ее в общем виде $y = kx + m$. Уравнение можно записать как $y = 0 \cdot x - 5$.
Отсюда, коэффициент $k = 0$ и коэффициент $m = -5$.
Графиком функции является прямая.
1. Угловой коэффициент $k = 0$. Это означает, что прямая параллельна оси абсцисс (оси Ox).
2. Коэффициент $m = -5$. Это означает, что прямая пересекает ось ординат (ось Oy) в точке $(0, -5)$.
Ответ: $k = 0$, $m = -5$. График — прямая, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, -5)$.

г) Для функции $y = 0$ представим ее в общем виде $y = kx + m$. Уравнение можно записать как $y = 0 \cdot x + 0$.
Отсюда, коэффициент $k = 0$ и коэффициент $m = 0$.
Графиком функции является прямая.
1. Угловой коэффициент $k = 0$, значит, прямая параллельна оси Ox.
2. Коэффициент $m = 0$, значит, прямая проходит через начало координат $(0, 0)$.
Прямая, которая одновременно параллельна оси Ox и проходит через начало координат, — это и есть сама ось Ox (ось абсцисс).
Ответ: $k = 0$, $m = 0$. График — прямая, которая совпадает с осью абсцисс (Ox).

6 Не выполняя построения графика функции, укажите координаты точки пересечения прямой с осью y:

a) $y = x - 4;$

б) $y = 3;$

в) $y = - \frac{3}{4} x;$

г) $y = 0,5x + p.$

Для нахождения координат точки пересечения графика функции с осью ординат (осью $y$), необходимо в уравнение этой функции подставить значение абсциссы $x=0$. Любая точка, лежащая на оси $y$, имеет координату $x$, равную нулю.

а) $y = x - 4$

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0 - 4$

$y = -4$

Таким образом, координаты точки пересечения прямой с осью $y$ равны $(0, -4)$.

Ответ: $(0, -4)$.

б) $y = 3$

Это уравнение задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату $y=3$. При пересечении с осью $y$ координата $x$ равна 0, а координата $y$ остается равной 3.

Таким образом, координаты точки пересечения прямой с осью $y$ равны $(0, 3)$.

Ответ: $(0, 3)$.

в) $y = -\frac{3}{4}x$

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = -\frac{3}{4} \cdot 0$

$y = 0$

Таким образом, координаты точки пересечения прямой с осью $y$ равны $(0, 0)$. Это означает, что прямая проходит через начало координат.

Ответ: $(0, 0)$.

г) $y = 0,5x + p$

Подставим $x=0$ в уравнение функции, где $p$ – некоторое число (параметр):

$y = 0,5 \cdot 0 + p$

$y = p$

Таким образом, координаты точки пересечения прямой с осью $y$ равны $(0, p)$.

Ответ: $(0, p)$.

7 Не выполняя построения графика, определите, возрастает или убывает данная функция:

а) $y = \frac{1}{3}x;$

б) $y = -x + 1;$

в) $y = -10x;$

г) $y = 0,1x - 4.$

Для того чтобы определить, возрастает или убывает линейная функция вида $y = kx + b$, необходимо посмотреть на знак её углового коэффициента $k$.

• Если коэффициент $k > 0$, то функция является возрастающей.
• Если коэффициент $k < 0$, то функция является убывающей.

а) В функции $y = \frac{1}{3}x$ угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастает.

б) В функции $y = -x + 1$ угловой коэффициент $k = -1$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.
Ответ: убывает.

в) В функции $y = -10x$ угловой коэффициент $k = -10$. Так как $k < 0$, функция является убывающей.
Ответ: убывает.

г) В функции $y = 0,1x - 4$ угловой коэффициент $k = 0,1$. Так как $k > 0$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастает.

Изобразите схематично график функции $y = kx + m$ согласно следующему условию:

8 a) $k > 0, m < 0;$

в) $k > 0, m > 0;$

б) $k < 0, m > 0;$

г) $k < 0, m < 0.$

Для построения схематических графиков функции $y = kx + m$ проанализируем, как коэффициенты $k$ и $m$ влияют на положение прямой на координатной плоскости.

• Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом. Он определяет угол наклона прямой относительно положительного направления оси Ox.
  Если $k > 0$, функция возрастает, и угол наклона острый. График "идет вверх" слева направо.
  Если $k < 0$, функция убывает, и угол наклона тупой. График "идет вниз" слева направо.

• Коэффициент $m$ (или свободный член) показывает точку пересечения графика с осью Oy. При $x = 0$, $y = m$.
  Если $m > 0$, прямая пересекает ось Oy выше начала координат.
  Если $m < 0$, прямая пересекает ось Oy ниже начала координат.

а) $k > 0, m < 0$;

Так как $k > 0$, функция является возрастающей (прямая наклонена вправо и вверх).
Так как $m < 0$, прямая пересекает ось ординат (Oy) в точке, расположенной ниже начала координат.
Такой график будет проходить через I, III и IV координатные четверти.
Схематическое изображение:
Ответ: График — возрастающая прямая, пересекающая ось Oy ниже начала координат.

б) $k < 0, m > 0$;

Так как $k < 0$, функция является убывающей (прямая наклонена вправо и вниз).
Так как $m > 0$, прямая пересекает ось ординат (Oy) в точке, расположенной выше начала координат.
Такой график будет проходить через I, II и IV координатные четверти.
Схематическое изображение:
Ответ: График — убывающая прямая, пересекающая ось Oy выше начала координат.

в) $k > 0, m > 0$;

Так как $k > 0$, функция является возрастающей (прямая наклонена вправо и вверх).
Так как $m > 0$, прямая пересекает ось ординат (Oy) в точке, расположенной выше начала координат.
Такой график будет проходить через I, II и III координатные четверти.
Схематическое изображение:
Ответ: График — возрастающая прямая, пересекающая ось Oy выше начала координат.

г) $k < 0, m < 0$.

Так как $k < 0$, функция является убывающей (прямая наклонена вправо и вниз).
Так как $m < 0$, прямая пересекает ось ординат (Oy) в точке, расположенной ниже начала координат.
Такой график будет проходить через II, III и IV координатные четверти.
Схематическое изображение:
Ответ: График — убывающая прямая, пересекающая ось Oy ниже начала координат.

9 a) $k < 0, m = 0;$

б) $k = 0, m < 0;$

в) $k > 0, m = 0;$

г) $k = 0, m > 0.$

Задача относится к анализу графика линейной функции, которая в общем виде задается уравнением $y = kx + m$. В этом уравнении коэффициент $k$ является угловым коэффициентом и отвечает за наклон прямой, а коэффициент $m$ (свободный член) определяет точку пересечения прямой с осью ординат ($OY$).

а) $k < 0, m = 0$

Если $k < 0$ и $m = 0$, уравнение функции принимает вид $y = kx$. Условие $m = 0$ означает, что прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Условие $k < 0$ означает, что угловой коэффициент отрицательный. Это значит, что функция является убывающей (при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается). График такой прямой образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс ($OX$) и располагается во второй и четвертой координатных четвертях.
Ответ: Графиком является прямая, проходящая через начало координат, расположенная во II и IV координатных четвертях.

б) $k = 0, m < 0$

Если $k = 0$ и $m < 0$, уравнение функции принимает вид $y = m$. Условие $k = 0$ означает, что угловой коэффициент равен нулю. Прямая, у которой угловой коэффициент равен нулю, параллельна оси абсцисс $OX$. Условие $m < 0$ означает, что прямая пересекает ось ординат $OY$ в точке с отрицательной ординатой $(0, m)$. Следовательно, вся прямая лежит ниже оси $OX$.
Ответ: Графиком является прямая, параллельная оси $OX$ и расположенная ниже этой оси.

в) $k > 0, m = 0$

Если $k > 0$ и $m = 0$, уравнение функции принимает вид $y = kx$. Условие $m = 0$ означает, что прямая проходит через начало координат $(0, 0)$. Условие $k > 0$ означает, что угловой коэффициент положительный. Это значит, что функция является возрастающей (при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается). График такой прямой образует острый угол с положительным направлением оси $OX$ и располагается в первой и третьей координатных четвертях.
Ответ: Графиком является прямая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III координатных четвертях.

г) $k = 0, m > 0$

Если $k = 0$ и $m > 0$, уравнение функции принимает вид $y = m$. Условие $k = 0$ означает, что прямая параллельна оси абсцисс $OX$. Условие $m > 0$ означает, что прямая пересекает ось ординат $OY$ в точке с положительной ординатой $(0, m)$. Следовательно, вся прямая лежит выше оси $OX$.
Ответ: Графиком является прямая, параллельная оси $OX$ и расположенная выше этой оси.

10 Постройте график функции $y = x - 6$. По графику найдите:

а) значение функции, если значение аргумента равно $-2$; $0$; $3$;

б) значение аргумента, если значение функции равно $-1$; $0$; $2$;

в) значения аргумента, при которых $y > 0$, $y < 0$;

г) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[1$; $3]$.

Для построения графика функции $y = x - 6$ необходимо найти координаты двух точек, так как данная функция является линейной, и ее график — прямая линия. Составим таблицу значений:

Отметив точки $(0; -6)$ и $(6; 0)$ на координатной плоскости и проведя через них прямую, мы получим график функции $y = x - 6$. Далее, используя этот график (и производя вычисления для точности), найдем требуемые значения.

а) значение функции, если значение аргумента равно –2; 0; 3;

Чтобы найти значение функции ($y$) по значению аргумента ($x$), нужно найти на графике точку с заданной абсциссой и определить ее ординату.

• При $x = -2$: подставляем значение в формулу $y = -2 - 6 = -8$. На графике это соответствует точке $(-2; -8)$.

• При $x = 0$: $y = 0 - 6 = -6$. Это точка пересечения графика с осью ординат $(0; -6)$.

• При $x = 3$: $y = 3 - 6 = -3$. На графике это соответствует точке $(3; -3)$.

Ответ: при $x = -2$ значение $y = -8$; при $x = 0$ значение $y = -6$; при $x = 3$ значение $y = -3$.

б) значение аргумента, если значение функции равно –1; 0; 2;

Чтобы найти значение аргумента ($x$) по значению функции ($y$), нужно найти на графике точку с заданной ординатой и определить ее абсциссу.

• При $y = -1$: решаем уравнение $-1 = x - 6$, откуда $x = 6 - 1 = 5$.

• При $y = 0$: решаем уравнение $0 = x - 6$, откуда $x = 6$. Это точка пересечения графика с осью абсцисс $(6; 0)$.

• При $y = 2$: решаем уравнение $2 = x - 6$, откуда $x = 6 + 2 = 8$.

Ответ: при $y = -1$ значение $x = 5$; при $y = 0$ значение $x = 6$; при $y = 2$ значение $x = 8$.

в) значения аргумента, при которых y > 0, y < 0;

Чтобы найти, при каких значениях аргумента функция положительна или отрицательна, нужно определить, на каких интервалах график функции лежит выше или ниже оси абсцисс (оси Ox).

• Функция $y > 0$ (график выше оси Ox) в той части плоскости, где $x$ больше абсциссы точки пересечения с осью Ox. Точка пересечения — $(6; 0)$. Следовательно, $y > 0$ при $x > 6$.

• Функция $y < 0$ (график ниже оси Ox) в той части плоскости, где $x$ меньше абсциссы точки пересечения с осью Ox. Следовательно, $y < 0$ при $x < 6$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (6; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 6)$.

г) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; 3].

Функция $y = x - 6$ является возрастающей (коэффициент при $x$ положителен: $k=1 > 0$). Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, на заданном отрезке наименьшее значение будет в его начале, а наибольшее — в его конце.

• Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 3]$ достигается при $x = 1$: $y_{наим} = 1 - 6 = -5$.

• Наибольшее значение функции на отрезке $[1; 3]$ достигается при $x = 3$: $y_{наиб} = 3 - 6 = -3$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[1; 3]$ равно -5, а наибольшее равно -3.

11 Постройте график функции $y = -x + 1$. По графику найдите:

а) значение функции, если значение аргумента равно -3; 0; 2;

б) значение аргумента, если значение функции равно -2; 0; 1;

в) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$;

г) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 1]$.

Сначала построим график функции $y = -x + 1$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек.

1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$ (осью ординат). Для этого подставим $x = 0$: $y = -0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$ (осью абсцисс). Для этого подставим $y = 0$: $0 = -x + 1$, откуда $x = 1$. Получаем точку $(1; 0)$.

Проведем прямую через точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$. Теперь по этому графику найдем требуемые значения.

а) значение функции, если значение аргумента равно -3; 0; 2;
Находим на графике точки с заданными абсциссами (значениями $x$) и определяем их ординаты (значения $y$):
- при $x = -3$, $y = -(-3) + 1 = 3 + 1 = 4$;
- при $x = 0$, $y = -(0) + 1 = 1$;
- при $x = 2$, $y = -(2) + 1 = -1$.
Ответ: если $x=-3$, то $y=4$; если $x=0$, то $y=1$; если $x=2$, то $y=-1$.

б) значение аргумента, если значение функции равно -2; 0; 1;
Находим на графике точки с заданными ординатами (значениями $y$) и определяем их абсциссы (значения $x$):
- при $y = -2$, решаем уравнение $-2 = -x + 1$, откуда $x = 1 + 2 = 3$;
- при $y = 0$, решаем $0 = -x + 1$, откуда $x = 1$;
- при $y = 1$, решаем $1 = -x + 1$, откуда $-x = 0$ и $x = 0$.
Ответ: если $y=-2$, то $x=3$; если $y=0$, то $x=1$; если $y=1$, то $x=0$.

в) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$;
- $y > 0$: эта часть графика расположена выше оси $Ox$. Это происходит для всех точек, которые лежат левее точки пересечения графика с осью $Ox$. Точка пересечения $(1, 0)$, следовательно, $y > 0$ при $x < 1$.
- $y < 0$: эта часть графика расположена ниже оси $Ox$. Это происходит для всех точек, которые лежат правее точки пересечения графика с осью $Ox$. Следовательно, $y < 0$ при $x > 1$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1)$; $y < 0$ при $x \in (1; +\infty)$.

г) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 1].
Рассмотрим часть графика на отрезке $x \in [-2; 1]$. Так как функция $y = -x + 1$ является убывающей (угловой коэффициент $k = -1 < 0$), ее наибольшее значение на отрезке будет достигаться в его левой границе, а наименьшее — в правой.
- Наибольшее значение функции на отрезке: $y_{наиб} = y(-2) = -(-2) + 1 = 3$.
- Наименьшее значение функции на отрезке: $y_{наим} = y(1) = -(1) + 1 = 0$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 1]$ равно 3, а наименьшее равно 0.

12 Постройте график функции $y = 2x - 2$. С помощью графика найдите:

а) координаты точек пересечения прямой с осью $x$ и осью $y$;

б) значения аргумента, при которых $y > 0$, $y < 0$;

в) значения $y$, которые соответствуют значениям $x$, удовлетворяющим неравенству $-1 \le x \le 2$;

г) промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если $y_{\text{наим}} = -1$, $y_{\text{наиб}} = 6$.

Для построения графика функции $y = 2x - 2$ найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой. Данная функция является линейной, поэтому ее график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.
1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $y$). Для этого примем $x = 0$:
$y = 2 \cdot 0 - 2 = -2$.
Получаем точку с координатами $(0, -2)$.
2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $x$). Для этого примем $y = 0$:
$0 = 2x - 2$
$2x = 2$
$x = 1$.
Получаем точку с координатами $(1, 0)$.
Отметим точки $(0, -2)$ и $(1, 0)$ на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая является графиком функции $y = 2x - 2$.

а) Найдем координаты точек пересечения прямой с осью $x$ и осью $y$.
Эти точки были найдены при построении графика.
Точка пересечения с осью $x$ имеет координату $y=0$, что дает нам точку $(1, 0)$.
Точка пересечения с осью $y$ имеет координату $x=0$, что дает нам точку $(0, -2)$.
Ответ: точка пересечения с осью $x$ — $(1, 0)$; точка пересечения с осью $y$ — $(0, -2)$.

б) Найдем значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.
Используя график, мы видим, что значения функции (y) положительны, когда график находится выше оси $x$. Это происходит для всех точек, расположенных правее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x > 1$.
Значения функции (y) отрицательны, когда график находится ниже оси $x$. Это происходит для всех точек, расположенных левее точки пересечения с осью $x$, то есть при $x < 1$.
Проверим это алгебраически:
$y > 0 \implies 2x - 2 > 0 \implies 2x > 2 \implies x > 1$.
$y < 0 \implies 2x - 2 < 0 \implies 2x < 2 \implies x < 1$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.

в) Найдем значения $y$, которые соответствуют значениям $x$, удовлетворяющим неравенству $-1 \le x \le 2$.
Нам нужно найти область значений функции на отрезке $x \in [-1; 2]$. Так как функция $y = 2x - 2$ возрастающая (угловой коэффициент $k=2 > 0$), наименьшее значение $y$ достигается при наименьшем значении $x$, а наибольшее значение $y$ — при наибольшем значении $x$.
Вычислим значения $y$ на концах отрезка:
при $x = -1$: $y = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$.
при $x = 2$: $y = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.
Следовательно, для $x \in [-1; 2]$ значения $y$ находятся в промежутке $[-4; 2]$.
Ответ: значения $y$ принадлежат промежутку $[-4; 2]$, то есть $-4 \le y \le 2$.

г) Найдем промежуток, которому принадлежит переменная $x$, если $y_{наим} = -1, y_{наиб} = 6$.
Это обратная задача: нам дан диапазон значений функции $y \in [-1; 6]$, и нужно найти соответствующий диапазон значений аргумента $x$.
Найдем $x$, соответствующий $y = -1$:
$-1 = 2x - 2$
$2x = 1$
$x = 0.5$.
Найдем $x$, соответствующий $y = 6$:
$6 = 2x - 2$
$2x = 8$
$x = 4$.
Поскольку функция возрастающая, промежутку значений $y \in [-1; 6]$ соответствует промежуток значений $x \in [0.5; 4]$.
Ответ: переменная $x$ принадлежит промежутку $[0.5; 4]$, то есть $0.5 \le x \le 4$.