Страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

8 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -x^2, \text{ если } x < 2; \\ 3x - 10, \text{ если } x \ge 2. \end{cases}$

Вычислите:

а) $f(2);$

б) $f(-1{,}5);$

в) $f(4);$

г) $f(0).$

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что для разных значений аргумента $x$ используются разные формулы. Чтобы вычислить значение функции $f(x)$ для конкретного значения $x$, нужно сначала определить, какому из интервалов принадлежит этот $x$, а затем подставить его в соответствующую этому интервалу формулу.

Функция задана следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} -x^2, & \text{если } x < 2 \\ 3x - 10, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Вычислим значения функции для заданных точек.

а) Чтобы найти $f(2)$, мы должны определить, какую часть определения функции использовать. Аргумент $x=2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Следовательно, мы используем вторую формулу: $f(x) = 3x - 10$.
Подставим $x=2$ в эту формулу:
$f(2) = 3 \cdot 2 - 10 = 6 - 10 = -4$.
Ответ: -4

б) Чтобы найти $f(-1,5)$, мы смотрим на условия. Аргумент $x=-1,5$ удовлетворяет условию $x < 2$. Следовательно, мы используем первую формулу: $f(x) = -x^2$.
Подставим $x=-1,5$ в эту формулу:
$f(-1,5) = -(-1,5)^2 = -(2,25) = -2,25$.
Ответ: -2,25

в) Чтобы найти $f(4)$, мы смотрим на условия. Аргумент $x=4$ удовлетворяет условию $x \ge 2$. Следовательно, мы используем вторую формулу: $f(x) = 3x - 10$.
Подставим $x=4$ в эту формулу:
$f(4) = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$.
Ответ: 2

г) Чтобы найти $f(0)$, мы смотрим на условия. Аргумент $x=0$ удовлетворяет условию $x < 2$. Следовательно, мы используем первую формулу: $f(x) = -x^2$.
Подставим $x=0$ в эту формулу:
$f(0) = -(0)^2 = 0$.
Ответ: 0

9. Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } -3 \le x < -1; \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2; \\ 4, & \text{если } 2 < x \le 8. \end{cases}$

Используя построенный график функций, установите:

a) какова область определения функции $y = f(x)$;

б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;

в) является ли функция непрерывной;

г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;

д) где функция возрастает, где убывает.

Сначала построим график кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} 2 - x, & \text{если } -3 \le x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2 \\ 4, & \text{если } 2 < x \le 8 \end{cases}$

1. На промежутке $[-3, -1)$ строим график функции $y = 2 - x$. Это часть прямой. Найдем значения на концах: при $x = -3, y = 2 - (-3) = 5$. Точка $(-3, 5)$ принадлежит графику. При $x = -1, y = 2 - (-1) = 3$. Точка $(-1, 3)$ не принадлежит графику (на графике она будет "выколотой").
2. На отрезке $[-1, 2]$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значения на концах: при $x = -1, y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику. При $x = 2, y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику.
3. На полуинтервале $(2, 8]$ строим график функции $y = 4$. Это отрезок горизонтальной прямой. Точка $(2, 4)$ не принадлежит этому участку графика (она "выколотая", но уже включена в предыдущем шаге), а точка $(8, 4)$ принадлежит.

Используя построенный график, ответим на вопросы.

а) какова область определения функции $y = f(x)$;

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Функция задана на объединении промежутков $[-3, -1)$, $[-1, 2]$ и $(2, 8]$.

Объединяя эти промежутки, получаем: $[-3, -1) \cup [-1, 2] \cup (2, 8] = [-3, 8]$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = [-3, 8]$.

б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции проанализируем поведение функции на каждом из участков.

• На промежутке $[-3, -1)$ функция $y = 2 - x$ убывает. Наибольшее значение достигается при $x = -3$ и равно $f(-3) = 5$. Значения функции на этом участке лежат в промежутке $(3, 5]$.
• На отрезке $[-1, 2]$ функция $y = x^2$. Наименьшее значение достигается в вершине параболы при $x = 0$ и равно $f(0) = 0$. Наибольшее значение на этом отрезке достигается при $x = 2$ и равно $f(2) = 4$. Значения функции на этом участке лежат в промежутке $[0, 4]$.
• На полуинтервале $(2, 8]$ функция постоянна и равна 4.

Объединив все возможные значения функции, получаем область значений $E(f) = [0, 5]$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение функции равно 5.

в) является ли функция непрерывной;

Функция является непрерывной, если ее график можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги. Проверим точки "стыка" участков: $x = -1$ и $x = 2$.

• В точке $x = -1$: Предел слева: $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (2 - x) = 3$. Значение функции в точке: $f(-1) = (-1)^2 = 1$. Поскольку предел слева не равен значению функции в точке ($3 \neq 1$), функция имеет разрыв в точке $x = -1$.
• В точке $x = 2$: Предел слева: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4$. Предел справа: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 4 = 4$. Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 = 4$. Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке, в точке $x=2$ функция непрерывна.

Так как функция имеет разрыв в точке $x = -1$, она не является непрерывной на всей области определения.

Ответ: Функция не является непрерывной.

г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;

1. Найдем, где $f(x) = 0$.

• На $[-3, -1)$: $2 - x = 0 \implies x = 2$. Это значение не входит в промежуток.
• На $[-1, 2]$: $x^2 = 0 \implies x = 0$. Это значение входит в отрезок.
• На $(2, 8]$: $4 = 0$. Решений нет.

Значение функции равно нулю при $x = 0$.

2. Найдем, где $f(x) > 0$.

• На $[-3, -1)$: $2 - x > 0 \implies x < 2$. Все значения из этого промежутка удовлетворяют условию.
• На $[-1, 2]$: $x^2 > 0 \implies x \ne 0$. Учитывая отрезок, получаем $x \in [-1, 0) \cup (0, 2]$.
• На $(2, 8]$: $4 > 0$. Все значения из этого промежутка удовлетворяют условию.

Объединяя все промежутки, получаем, что $f(x) > 0$ при $x \in [-3, 0) \cup (0, 8]$.

3. Найдем, где $f(x) < 0$.

• На $[-3, -1)$: $2 - x < 0 \implies x > 2$. Нет таких значений в промежутке.
• На $[-1, 2]$: $x^2 < 0$. Решений нет.
• На $(2, 8]$: $4 < 0$. Решений нет.

Нет таких значений аргумента, при которых функция была бы меньше нуля.

Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) > 0$ при $x \in [-3, 0) \cup (0, 8]$; нет значений $x$, при которых $f(x) < 0$.

д) где функция возрастает, где убывает.

Проанализируем поведение функции на каждом участке.

• На промежутке $[-3, -1)$ функция $y = 2-x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом (равным -1), следовательно, она убывает на всем этом промежутке.
• На отрезке $[-1, 2]$ дана функция $y = x^2$. Эта парабола убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$. Значит, на отрезке $[-1, 0]$ функция убывает, а на отрезке $[0, 2]$ — возрастает.
• На полуинтервале $(2, 8]$ функция $y = 4$ постоянна.

Соберем информацию:

• Функция убывает на промежутках $[-3, -1)$ и $[-1, 0]$.
• Функция возрастает на отрезке $[0, 2]$.
• Функция постоянна на промежутке $(2, 8]$.

Ответ: Функция убывает при $x \in [-3, -1)$ и $x \in [-1, 0]$; функция возрастает при $x \in [0, 2]$; функция постоянна при $x \in (2, 8]$.

10 Постройте график функции $y = \frac{4x^2 + x^3}{x + 4}$.

Для построения графика функции $y = \frac{4x^2 + x^3}{x+4}$ сначала определим ее область определения.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно:
$x + 4 \neq 0$
$x \neq -4$
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

Далее упростим выражение для функции. Для этого вынесем общий множитель $x^2$ в числителе:
$y = \frac{x^2(4 + x)}{x + 4}$

Так как на области определения функции $x \neq -4$, мы можем сократить дробь на выражение $(x+4)$:
$y = x^2$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2$ во всех точках, кроме точки, в которой $x = -4$. Это означает, что график нашей функции — это парабола $y=x^2$ с "выколотой" точкой.

Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса точки $x = -4$. Чтобы найти ординату, подставим это значение в упрощенную функцию $y = x^2$:
$y = (-4)^2 = 16$
Следовательно, точка с координатами $(-4; 16)$ не принадлежит графику исходной функции.

Итак, для построения графика необходимо:

1. Построить параболу $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения можно использовать контрольные точки:
$(-3; 9)$, $(-2; 4)$, $(-1; 1)$, $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$, $(3; 9)$.

2. Отметить на этой параболе "выколотую" точку с координатами $(-4; 16)$. Эта точка изображается в виде маленького незакрашенного кружка.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{4x^2 + x^3}{x+4}$ является парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(-4; 16)$.

11 В четырёх классах проводили контрольную работу по теме «Функция $y = x^2$». В контрольной работе было 5 задач. Таблица распределения числа верно решённых задач такова:

Нарисуйте столбчатую диаграмму распределения процентных частот по трём группам: № 1 («отстающие») — 0 или 1 решённая задача, № 2 («успевающие») — 2 или 3 решённые задачи, № 3 («отличники») — остальные.

Для того чтобы построить столбчатую диаграмму, сначала необходимо выполнить расчёты. Мы определим общее количество учеников, а затем вычислим численность и процентную частоту для каждой из трёх групп.

1. Найдём общее количество учеников, участвовавших в контрольной работе. Для этого сложим все значения из строки «Количество учеников» в таблице:

$N_{общ} = 4 + 16 + 19 + 23 + 25 + 13 = 100$ учеников.

2. Теперь рассчитаем показатели для каждой группы.

№ 1 («отстающие»)

В эту группу входят ученики, которые решили 0 или 1 задачу. Найдём их общее количество:

$N_1 = 4 + 16 = 20$ учеников.

Процентная частота для этой группы рассчитывается по формуле $P = (N_{группы} / N_{общ}) \times 100\%$:

$P_1 = \frac{20}{100} \times 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.

№ 2 («успевающие»)

В эту группу входят ученики, решившие 2 или 3 задачи. Их количество:

$N_2 = 19 + 23 = 42$ ученика.

Процентная частота для этой группы:

$P_2 = \frac{42}{100} \times 100\% = 42\%$.

Ответ: 42%.

№ 3 («отличники»)

В эту группу входят остальные ученики, то есть те, кто решил 4 или 5 задач. Их количество:

$N_3 = 25 + 13 = 38$ учеников.

Процентная частота для этой группы:

$P_3 = \frac{38}{100} \times 100\% = 38\%$.

Ответ: 38%.

На основе полученных данных строим столбчатую диаграмму, где высота каждого столбца соответствует процентной частоте группы.