Страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

47.6 Выполните задание, используя данные предыдущего упражнения.

a) Заполните сгруппированную таблицу распределения расхода электроэнергии:

б) Переведите её в таблицу распределения процентных частот, постройте круговую диаграмму.

в) Заполните таблицу распределения расхода электроэнергии, сгруппированную иначе:

г) Переведите таблицу пункта в) в таблицу распределения процентных частот, постройте круговую диаграмму.

Для выполнения задания необходимы данные из предыдущего упражнения. Будем использовать следующий набор данных о расходе электроэнергии (в кВт·ч) за месяц для 40 квартир, который обычно приводится в задаче 47.5 учебника Алгебры для 9 класса (автор Макарычев Ю.Н. и др.):

140 159 160 168 170 170 175 180 181 182 186 190 190 194 200 202 208 210 215 216 220 225 230 234 238 240 245 250 256 260 280 290 310 315 320 340 348 410 430 450

Общее число наблюдений (квартир) $N = 40$.

а) Заполните сгруппированную таблицу распределения расхода электроэнергии:

Для заполнения таблицы подсчитаем количество квартир (частоту), расход электроэнергии в которых попадает в каждый из указанных интервалов. Будем считать, что каждый интервал вида "От A до B" представляет собой полуинтервал $[A, B)$, то есть включает значения, равные A, но не включает значения, равные B.

• Интервал От 0 до 100 кВт·ч ($[0, 100)$): В данном диапазоне нет значений. Частота равна 0.
• Интервал От 100 до 200 кВт·ч ($[100, 200)$): 14 значений (140, 159, ..., 194). Частота равна 14.
• Интервал От 200 до 300 кВт·ч ($[200, 300)$): 18 значений (200, 202, ..., 290). Частота равна 18.
• Интервал От 300 до 400 кВт·ч ($[300, 400)$): 5 значений (310, 315, 320, 340, 348). Частота равна 5.
• Интервал От 400 до 500 кВт·ч ($[400, 500)$): 3 значения (410, 430, 450). Частота равна 3.

Проверим, что общее количество совпадает с числом квартир: $0 + 14 + 18 + 5 + 3 = 40$.

Ответ:

б) Переведите её в таблицу распределения процентных частот, постройте круговую диаграмму.

Процентная частота для каждой группы вычисляется по формуле: $ \text{Процентная частота} = \frac{\text{Частота группы}}{\text{Общее число наблюдений}} \times 100\% $.

• От 0 до 100: $\frac{0}{40} \times 100\% = 0\%$
• От 100 до 200: $\frac{14}{40} \times 100\% = 35\%$
• От 200 до 300: $\frac{18}{40} \times 100\% = 45\%$
• От 300 до 400: $\frac{5}{40} \times 100\% = 12.5\%$
• От 400 до 500: $\frac{3}{40} \times 100\% = 7.5\%$

Для построения круговой диаграммы вычислим углы секторов, соответствующие каждой группе. Полный круг составляет $360^\circ$. $ \text{Угол сектора} = \frac{\text{Процентная частота}}{100\%} \times 360^\circ $.

• От 100 до 200: $0.35 \times 360^\circ = 126^\circ$
• От 200 до 300: $0.45 \times 360^\circ = 162^\circ$
• От 300 до 400: $0.125 \times 360^\circ = 45^\circ$
• От 400 до 500: $0.075 \times 360^\circ = 27^\circ$

Ответ:

в) Заполните таблицу распределения расхода электроэнергии, сгруппированную иначе:

Сгруппируем данные по новым интервалам. Будем считать, что последний интервал "От 300 до 450" является замкнутым $[300, 450]$, чтобы включить максимальное значение выборки 450. Остальные интервалы — полуоткрытые $[A, B)$.

• Интервал От 0 до 150 кВт·ч ($[0, 150)$): 1 значение (140). Частота равна 1.
• Интервал От 150 до 300 кВт·ч ($[150, 300)$): 31 значение (159, 160, ..., 290). Частота равна 31.
• Интервал От 300 до 450 кВт·ч ($[300, 450]$): 8 значений (310, 315, ..., 450). Частота равна 8.

Проверка: $1 + 31 + 8 = 40$.

Ответ:

г) Переведите таблицу пункта в) в таблицу распределения процентных частот, постройте круговую диаграмму.

Вычислим процентные частоты для новой группировки:

• От 0 до 150: $\frac{1}{40} \times 100\% = 2.5\%$
• От 150 до 300: $\frac{31}{40} \times 100\% = 77.5\%$
• От 300 до 450: $\frac{8}{40} \times 100\% = 20\%$

Вычислим углы секторов для круговой диаграммы:

• От 0 до 150: $0.025 \times 360^\circ = 9^\circ$
• От 150 до 300: $0.775 \times 360^\circ = 279^\circ$
• От 300 до 450: $0.20 \times 360^\circ = 72^\circ$

Ответ:

47.7 Числитель дроби произвольно выбирают из многочленов $a^2 - 1$, $a^2 + a$, $a^3 - a$. Знаменатель произвольно выбирают из многочленов $a - 1$, $a + 1$.

а) Сколько всего вариантов составления дроби существует?

б) Выпишите все дроби с числителем, равным $a^3 - a$.

в) Какие из полученных дробей являются несократимыми?

г) В скольких случаях после сокращения получится многочлен второй степени?

а) Для выбора числителя дроби есть 3 варианта многочленов: $a^2 - 1$, $a^2 + a$, $a^3 - a$. Для выбора знаменателя есть 2 варианта многочленов: $a - 1$, $a + 1$. Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число вариантов составления дроби равно произведению числа вариантов для числителя и числа вариантов для знаменателя:
$3 \cdot 2 = 6$
Ответ: 6.

б) Если числитель равен $a^3 - a$, а знаменатель выбирается из многочленов $a - 1$ и $a + 1$, то можно составить следующие две дроби:
$\frac{a^3 - a}{a - 1}$ и $\frac{a^3 - a}{a + 1}$.
Ответ: $\frac{a^3 - a}{a - 1}$; $\frac{a^3 - a}{a + 1}$.

в) Дробь является несократимой, если ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей (кроме постоянных). Для проверки разложим все возможные числители на множители:
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
$a^2 + a = a(a + 1)$
$a^3 - a = a(a^2 - 1) = a(a - 1)(a + 1)$
Знаменатели $a - 1$ и $a + 1$ являются простыми многочленами.
Теперь рассмотрим все 6 возможных дробей и проверим их на сократимость:
1. $\frac{a^2 - 1}{a - 1} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$ - сократима.
2. $\frac{a^2 - 1}{a + 1} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1}$ - сократима.
3. $\frac{a^2 + a}{a - 1} = \frac{a(a + 1)}{a - 1}$ - несократима, так как у числителя и знаменателя нет общих множителей.
4. $\frac{a^2 + a}{a + 1} = \frac{a(a + 1)}{a + 1}$ - сократима.
5. $\frac{a^3 - a}{a - 1} = \frac{a(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$ - сократима.
6. $\frac{a^3 - a}{a + 1} = \frac{a(a - 1)(a + 1)}{a + 1}$ - сократима.
Таким образом, только одна дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{a^2 + a}{a - 1}$.

г) Чтобы в результате сокращения дроби получился многочлен, знаменатель должен полностью сократиться. Чтобы этот многочлен был второй степени, степень результирующего выражения должна быть равна 2. Проверим все 6 дробей, используя разложения из предыдущего пункта:
1. $\frac{a^2 - 1}{a - 1} = a + 1$ (многочлен первой степени).
2. $\frac{a^2 - 1}{a + 1} = a - 1$ (многочлен первой степени).
3. $\frac{a^2 + a}{a - 1}$ (несократимая дробь, не является многочленом).
4. $\frac{a^2 + a}{a + 1} = a$ (многочлен первой степени).
5. $\frac{a^3 - a}{a - 1} = \frac{a(a - 1)(a + 1)}{a - 1} = a(a + 1) = a^2 + a$ (многочлен второй степени).
6. $\frac{a^3 - a}{a + 1} = \frac{a(a - 1)(a + 1)}{a + 1} = a(a - 1) = a^2 - a$ (многочлен второй степени).
Следовательно, в двух случаях после сокращения получается многочлен второй степени.
Ответ: 2.

47.8 Пусть $f(x) = \begin{cases} *, \text{ если } x \le 0, \\ \blacksquare, \text{ если } x > 0, \end{cases}$ а вместо символов * и $\blacksquare$ можно поставить либо $x^2$, либо $-x^2$.

а) Сколько разных функций $y = f(x)$ может быть задано таким образом?

б) Изобразите графики функций $y = f(x)$.

в) На графиках скольких функций $y = f(x)$ есть точки, расположенные ниже оси абсцисс?

г) Графики скольких функций $y = f(x)$ симметричны относительно начала координат?

а) Условие задачи определяет кусочную функцию $f(x) = \begin{cases} * & \text{если } x \le 0 \\ \blacksquare & \text{если } x > 0 \end{cases}$.
Для определения функции на промежутке $x \le 0$ (вместо символа *) есть два варианта: $x^2$ или $-x^2$.
Аналогично, для определения функции на промежутке $x > 0$ (вместо символа ▪) также есть два варианта: $x^2$ или $-x^2$.
Общее количество различных функций равно произведению количества вариантов для каждой части. Таким образом, можно задать $2 \times 2 = 4$ различные функции.
Ответ: 4.

б) Четыре возможные функции и их графики:

1. $f_1(x) = \begin{cases} x^2 & \text{если } x \le 0 \\ x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$, что равносильно $f_1(x) = x^2$.
График: стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

2. $f_2(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{если } x \le 0 \\ -x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$, что равносильно $f_2(x) = -x^2$.
График: стандартная парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вниз.

3. $f_3(x) = \begin{cases} x^2 & \text{если } x \le 0 \\ -x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$.
График: для $x \le 0$ — это левая ветвь параболы $y=x^2$, расположенная во второй координатной четверти. Для $x > 0$ — это правая ветвь параболы $y=-x^2$, расположенная в четвертой координатной четверти. Обе части соединяются в точке (0, 0).

4. $f_4(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{если } x \le 0 \\ x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$.
График: для $x \le 0$ — это левая ветвь параболы $y=-x^2$, расположенная в третьей координатной четверти. Для $x > 0$ — это правая ветвь параболы $y=x^2$, расположенная в первой координатной четверти. Обе части соединяются в точке (0, 0).

Ответ: Графики четырех функций описаны выше.

в) Точки графика расположены ниже оси абсцисс, если $f(x) < 0$ для некоторых значений $x$.
Рассмотрим выражения, которые могут определять функцию: $x^2$ и $-x^2$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$).
Выражение $-x^2$ всегда неположительно ($-x^2 \le 0$), и оно строго меньше нуля для всех $x \ne 0$.
Следовательно, на графике функции будут точки ниже оси абсцисс, если в ее определении хотя бы на одном из промежутков используется формула $-x^2$.
1. $f_1(x) = x^2$: нет точек ниже оси абсцисс, так как $x^2 \ge 0$.
2. $f_2(x) = -x^2$: есть точки ниже оси абсцисс (для всех $x \ne 0$).
3. $f_3(x)$: есть точки ниже оси абсцисс (для всех $x > 0$, где $f(x) = -x^2$).
4. $f_4(x)$: есть точки ниже оси абсцисс (для всех $x < 0$, где $f(x) = -x^2$).
Таким образом, у трех функций есть точки, расположенные ниже оси абсцисс.
Ответ: 3.

г) График функции симметричен относительно начала координат, если функция является нечетной, то есть удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения.
1. $f_1(x) = x^2$: это четная функция, так как $f_1(-x) = (-x)^2 = x^2 = f_1(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат.
2. $f_2(x) = -x^2$: это также четная функция, так как $f_2(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = f_2(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат.
3. $f_3(x) = \begin{cases} x^2 & \text{если } x \le 0 \\ -x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$. Проверим на нечетность. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Имеем: $f_3(x) = -x^2$ и $f_3(-x) = (-x)^2 = x^2$. Сравниваем $f_3(-x)$ и $-f_3(x) = -(-x^2) = x^2$. Так как $f_3(-x) = -f_3(x)$, функция нечетная.
4. $f_4(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{если } x \le 0 \\ x^2 & \text{если } x > 0 \end{cases}$. Проверим на нечетность. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$. Имеем: $f_4(x) = x^2$ и $f_4(-x) = -(-x)^2 = -x^2$. Сравниваем $f_4(-x)$ и $-f_4(x) = -(x^2) = -x^2$. Так как $f_4(-x) = -f_4(x)$, функция нечетная.
Следовательно, графики двух функций ($f_3$ и $f_4$) симметричны относительно начала координат.
Ответ: 2.