Страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №8

Вариант 1

1 Не выполняя построения, ответьте на вопрос: графику какой функции, $y = x^2$ или $y = -x^2$, принадлежит заданная точка:

а) A(2; 4);

б) B(-7; -49);

в) C(5; -25);

г) D(-4; 16)?

Для того чтобы определить, графику какой функции принадлежит точка, нужно подставить координаты точки $(x; y)$ в уравнение каждой функции. Если получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

а) Проверим точку $A(2; 4)$. Подставим её координаты $x=2$ и $y=4$ в каждое уравнение.

Для функции $y = x^2$ получаем $4 = 2^2$, что является верным равенством ($4=4$).

Для функции $y = -x^2$ получаем $4 = -(2^2)$, что неверно ($4 \neq -4$).

Следовательно, точка $A(2; 4)$ принадлежит графику функции $y = x^2$.

Ответ: графику функции $y = x^2$.

б) Проверим точку $B(-7; -49)$. Подставим её координаты $x=-7$ и $y=-49$ в каждое уравнение.

Для функции $y = x^2$ получаем $-49 = (-7)^2$, что неверно ($-49 \neq 49$).

Для функции $y = -x^2$ получаем $-49 = -(-7)^2$, что является верным равенством ($-49 = -49$).

Следовательно, точка $B(-7; -49)$ принадлежит графику функции $y = -x^2$.

Ответ: графику функции $y = -x^2$.

в) Проверим точку $C(5; -25)$. Подставим её координаты $x=5$ и $y=-25$ в каждое уравнение.

Для функции $y = x^2$ получаем $-25 = 5^2$, что неверно ($-25 \neq 25$).

Для функции $y = -x^2$ получаем $-25 = -(5^2)$, что является верным равенством ($-25 = -25$).

Следовательно, точка $C(5; -25)$ принадлежит графику функции $y = -x^2$.

Ответ: графику функции $y = -x^2$.

г) Проверим точку $D(-4; 16)$. Подставим её координаты $x=-4$ и $y=16$ в каждое уравнение.

Для функции $y = x^2$ получаем $16 = (-4)^2$, что является верным равенством ($16=16$).

Для функции $y = -x^2$ получаем $16 = -(-4)^2$, что неверно ($16 \neq -16$).

Следовательно, точка $D(-4; 16)$ принадлежит графику функции $y = x^2$.

Ответ: графику функции $y = x^2$.

2 Постройте график функции $y = x^2$ и с его помощью найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке:

а) $[-2; 3];$

б) $(-3; 1];$

в) $(-\infty; -1].$

Сначала построим график функции $y = x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

Соединив точки плавной кривой, получаем график параболы. Теперь, анализируя график, найдём наименьшее и наибольшее значения функции на указанных промежутках.

а) На промежутке $[-2; 3]$.

Этот отрезок включает в себя вершину параболы $x=0$. Поскольку вершина является самой низкой точкой параболы, наименьшее значение функции на данном отрезке будет в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка, в точке, наиболее удаленной от вершины. Сравним значения функции в точках $x=-2$ и $x=3$:
$y(-2) = (-2)^2 = 4$
$y(3) = 3^2 = 9$

Наибольшее из этих значений равно 9.
$y_{наиб} = y(3) = 9$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = 9$.

б) На промежутке $(-3; 1]$.

Этот промежуток также включает вершину параболы $x=0$, поэтому наименьшее значение функции достигается в этой точке.
$y_{наим} = y(0) = 0^2 = 0$.

Для определения наибольшего значения рассмотрим поведение функции на концах промежутка. Правый конец $x=1$ принадлежит промежутку, значение функции в этой точке $y(1) = 1^2 = 1$. Левый конец $x=-3$ не принадлежит промежутку (круглая скобка). При приближении $x$ к $-3$, значение $y$ стремится к $(-3)^2 = 9$, но никогда его не достигает. Следовательно, на данном промежутке функция не имеет наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшего значения не существует.

в) На промежутке $(-\infty; -1]$.

На этом промежутке, который представляет собой часть левой ветви параболы, функция $y=x^2$ является монотонно убывающей. Это означает, что чем больше значение $x$, тем меньше значение $y$.

Следовательно, наименьшее значение на этом промежутке будет достигаться в самой правой его точке, то есть при $x=-1$.
$y_{наим} = y(-1) = (-1)^2 = 1$.

Когда $x$ стремится к $-\infty$, значение $y=x^2$ неограниченно возрастает ($y \to +\infty$). Таким образом, функция не ограничена сверху на этом промежутке, и наибольшего значения у неё не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 1$, наибольшего значения не существует.

3 Сравните наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-1; 3]$ и наибольшее значение функции $y = -x^2$ на отрезке $[-3; 1]$.

Наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-1; 3]$

Графиком функции $y = x^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Своё наименьшее значение функция достигает в вершине. Вершина данной параболы находится в точке $(0, 0)$.

Поскольку абсцисса вершины $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$, для нахождения наименьшего значения на этом отрезке необходимо сравнить значение функции в точке $x=0$ и на концах отрезка.

Значение в вершине: $y(0) = 0^2 = 0$.

Значения на концах отрезка: $y(-1) = (-1)^2 = 1$ и $y(3) = 3^2 = 9$.

Сравнивая полученные значения $\{0, 1, 9\}$, мы видим, что наименьшее из них равно 0.

Ответ: Наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-1; 3]$ равно 0.

Наибольшее значение функции $y = -x^2$ на отрезке $[-3; 1]$

Графиком функции $y = -x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Своё наибольшее значение функция достигает в вершине. Вершина этой параболы также находится в точке $(0, 0)$.

Поскольку абсцисса вершины $x=0$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$, для нахождения наибольшего значения на этом отрезке необходимо сравнить значение функции в точке $x=0$ и на концах отрезка.

Значение в вершине: $y(0) = -0^2 = 0$.

Значения на концах отрезка: $y(-3) = -(-3)^2 = -9$ и $y(1) = -(1)^2 = -1$.

Сравнивая полученные значения $\{-9, 0, -1\}$, мы видим, что наибольшее из них равно 0.

Ответ: Наибольшее значение функции $y = -x^2$ на отрезке $[-3; 1]$ равно 0.

Сравнение найденных значений

Наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-1; 3]$ равно 0.

Наибольшее значение функции $y = -x^2$ на отрезке $[-3; 1]$ также равно 0.

Так как $0 = 0$, то эти значения равны.

Ответ: Наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-1; 3]$ равно наибольшему значению функции $y = -x^2$ на отрезке $[-3; 1]$.

4. Найдите точки пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = -4$.

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций необходимо найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно. В точках пересечения значения функций равны, поэтому мы можем приравнять их правые части.

Нам даны две функции:

1) $y = -x^2$

2) $y = -4$

Приравняем правые части уравнений:

$-x^2 = -4$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на $-1$:

$x^2 = 4$

Теперь найдём значения $x$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два решения:

$x_1 = \sqrt{4} = 2$

$x_2 = -\sqrt{4} = -2$

Мы нашли абсциссы (координаты $x$) точек пересечения. Ордината (координата $y$) для этих точек задана вторым уравнением $y = -4$.

Таким образом, получаем две точки пересечения:

Первая точка: $(2, -4)$

Вторая точка: $(-2, -4)$

Ответ: $(2; -4)$ и $(-2; -4)$.

5 Решите графически уравнение $x^2 = 2x + 3.$

Для того чтобы решить уравнение $x^2 = 2x + 3$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = x^2$ и $y = 2x + 3$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков будут являться решениями уравнения.

Построение графика функции $y = x^2$

График этой функции — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Для построения найдем координаты нескольких точек: при $x = 0, y = 0$; при $x = 1, y = 1$; при $x = -1, y = 1$; при $x = 2, y = 4$; при $x = -2, y = 4$; при $x = 3, y = 9$.

Построение графика функции $y = 2x + 3$

График этой функции — прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$, получаем точку $(0, 3)$. Если $x = 3$, то $y = 2 \cdot 3 + 3 = 9$, получаем точку $(3, 9)$.

Нахождение решения

Совместим оба графика в одной системе координат. Точки, в которых графики пересекаются, дадут нам решение. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках с координатами $(-1, 1)$ и $(3, 9)$.

Решениями уравнения являются абсциссы этих точек. Таким образом, $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Ответ: $-1; 3$.

6 На графике функции $y = x^2$ найдите точку, ордината которой в два раза больше абсциссы.

Пусть искомая точка на графике имеет координаты $(x; y)$.

По условию задачи, эта точка принадлежит графику функции $y = x^2$. Это означает, что ее координаты удовлетворяют данному уравнению:

$y = x^2$ (1)

Также по условию, ордината точки ($y$) в два раза больше ее абсциссы ($x$). Это соотношение можно записать в виде следующего уравнения:

$y = 2x$ (2)

Чтобы найти координаты точки, необходимо решить систему из уравнений (1) и (2). Для этого приравняем правые части уравнений, так как их левые части равны:

$x^2 = 2x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы $x$:

$x_1 = 0$ или $x_2 - 2 = 0 \implies x_2 = 2$.

Теперь найдем соответствующие значения ординаты $y$ для каждого из найденных $x$, подставив их в уравнение (2) $y = 2x$.

1. Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$.
Следовательно, первая точка имеет координаты $(0; 0)$.

2. Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 2 \cdot 2 = 4$.
Следовательно, вторая точка имеет координаты $(2; 4)$.

Таким образом, существуют две точки на графике функции $y = x^2$, которые удовлетворяют заданному условию.

Ответ: $(0; 0)$ и $(2; 4)$.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 15x + 8$. Найдите:

а) $f(x - 2)$;

б) $f(x^2)$;

в) $f(-x)$;

г) $f(x^2 + 4)$.

Дана функция $f(x) = 15x + 8$. Для нахождения значений функции от заданных аргументов, необходимо подставить эти аргументы вместо $x$ в формулу функции.

а) Чтобы найти $f(x - 2)$, подставим в функцию вместо аргумента $x$ выражение $(x - 2)$:

$f(x - 2) = 15(x - 2) + 8$

Далее раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$15(x - 2) + 8 = 15 \cdot x - 15 \cdot 2 + 8 = 15x - 30 + 8 = 15x - 22$

Ответ: $15x - 22$.

б) Чтобы найти $f(x^2)$, подставим вместо $x$ выражение $x^2$:

$f(x^2) = 15(x^2) + 8 = 15x^2 + 8$

Ответ: $15x^2 + 8$.

в) Чтобы найти $f(-x)$, подставим вместо $x$ выражение $(-x)$:

$f(-x) = 15(-x) + 8 = -15x + 8$

Ответ: $-15x + 8$.

г) Чтобы найти $f(x^2 + 4)$, подставим вместо $x$ выражение $(x^2 + 4)$:

$f(x^2 + 4) = 15(x^2 + 4) + 8$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$15(x^2 + 4) + 8 = 15 \cdot x^2 + 15 \cdot 4 + 8 = 15x^2 + 60 + 8 = 15x^2 + 68$

Ответ: $15x^2 + 68$.

8 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 5x - 4, & \text{если } x < 1; \\ x^2, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

Вычислите:

а) $f(1);$

б) $f(5,5);$

в) $f(-10);$

г) $f(0).$

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что для разных значений аргумента $x$ используются разные формулы. Чтобы вычислить значение функции в точке, нужно сначала определить, какому из двух условий ($x < 1$ или $x \ge 1$) удовлетворяет аргумент, а затем подставить его в соответствующую этому условию формулу.

а) f(1)

Аргумент функции $x = 1$. Сравниваем его с пограничным значением 1. Условие $1 \ge 1$ является верным. Следовательно, мы должны использовать вторую формулу: $f(x) = x^2$.
Подставляем $x = 1$ в эту формулу:
$f(1) = 1^2 = 1$.
Ответ: 1.

б) f(5,5)

Аргумент функции $x = 5,5$. Сравниваем его с пограничным значением 1. Так как $5,5 > 1$, условие $x \ge 1$ является верным. Следовательно, мы должны использовать вторую формулу: $f(x) = x^2$.
Подставляем $x = 5,5$ в эту формулу:
$f(5,5) = (5,5)^2 = 30,25$.
Ответ: 30,25.

в) f(-10)

Аргумент функции $x = -10$. Сравниваем его с пограничным значением 1. Так как $-10 < 1$, условие $x < 1$ является верным. Следовательно, мы должны использовать первую формулу: $f(x) = 5x - 4$.
Подставляем $x = -10$ в эту формулу:
$f(-10) = 5 \cdot (-10) - 4 = -50 - 4 = -54$.
Ответ: -54.

г) f(0)

Аргумент функции $x = 0$. Сравниваем его с пограничным значением 1. Так как $0 < 1$, условие $x < 1$ является верным. Следовательно, мы должны использовать первую формулу: $f(x) = 5x - 4$.
Подставляем $x = 0$ в эту формулу:
$f(0) = 5 \cdot 0 - 4 = 0 - 4 = -4$.
Ответ: -4.

9 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } -4 \le x < -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 \le x \le 2; \\ -2 - x, & \text{если } 2 < x \le 5. \end{cases}$

Используя построенный график функций, установите:

а) какова область определения функции $y = f(x)$;

б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции;

в) является ли функция непрерывной;

г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля;

д) где функция возрастает, где убывает.

Сначала построим график кусочно-заданной функции $y = f(x)$.

1. На промежутке $[-4, -1)$ функция задается формулой $y = -1$. Это горизонтальный отрезок прямой, параллельной оси Ox. Точка $(-4, -1)$ принадлежит графику (закрашенная), а точка $(-1, -1)$ не принадлежит (выколотая).

2. На промежутке $[-1, 2]$ функция задается формулой $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем значения на концах промежутка: $f(-1) = -(-1)^2 = -1$ и $f(2) = -(2)^2 = -4$. Точки $(-1, -1)$ и $(2, -4)$ принадлежат графику (закрашенные).

3. На промежутке $(2, 5]$ функция задается формулой $y = -2 - x$. Это часть прямой. Найдем значения на концах промежутка: при $x=2$ получаем $y = -2 - 2 = -4$ (точка $(2, -4)$ выколотая, так как $x > 2$), а при $x=5$ получаем $y = -2 - 5 = -7$ (точка $(5, -7)$ закрашенная).

Соединив все части, получим график функции. Теперь, используя график, ответим на вопросы.

а) какова область определения функции y = f(x)

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Функция задана на трех промежутках: $[-4, -1)$, $[-1, 2]$ и $(2, 5]$. Объединяя эти промежутки, получаем единый промежуток от $-4$ до $5$ включительно.
$D(f) = [-4, -1) \cup [-1, 2] \cup (2, 5] = [-4, 5]$.
Ответ: область определения функции $D(f) = [-4, 5]$.

б) чему равны наименьшее и наибольшее значения функции

Наибольшее и наименьшее значения функции — это экстремальные значения, которые функция принимает на своей области определения. Анализируя построенный график, видим, что самая высокая точка графика — это $(0, 0)$, а самая низкая — $(5, -7)$.
Следовательно, наибольшее значение функции равно $0$, а наименьшее равно $-7$.
Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -7$; наибольшее значение функции $y_{max} = 0$.

в) является ли функция непрерывной

Функция является непрерывной, если ее график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Проверим точки "стыка" участков: $x = -1$ и $x = 2$.
При $x \to -1$ слева: $y \to -1$.
В точке $x = -1$: $y = -(-1)^2 = -1$.
При $x \to -1$ справа: $y \to -(-1)^2 = -1$.
Так как пределы слева, справа и значение в точке совпадают, в точке $x = -1$ разрыва нет.
При $x \to 2$ слева: $y \to -(2)^2 = -4$.
В точке $x = 2$: $y = -(2)^2 = -4$.
При $x \to 2$ справа: $y \to -2 - 2 = -4$.
В точке $x = 2$ пределы и значение также совпадают, разрыва нет.
На каждом из интервалов функция задана элементарными непрерывными функциями.
Ответ: да, функция является непрерывной на всей области определения.

г) при каких значениях аргумента значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля

Проанализируем значения $y$ на графике.
- Значение функции равно нулю ($f(x) = 0$): это происходит в точке, где график пересекает ось Ox. Из графика видно, что это точка $(0, 0)$. Следовательно, $f(x) = 0$ при $x = 0$.
- Значение функции больше нуля ($f(x) > 0$): это происходит там, где график лежит выше оси Ox. Наш график нигде не находится выше оси Ox. Следовательно, таких значений $x$ нет.
- Значение функции меньше нуля ($f(x) < 0$): это происходит там, где график лежит ниже оси Ox. Это выполняется для всех $x$ из области определения, кроме точки $x=0$. То есть на промежутках $[-4, 0)$ и $(0, 5]$.
Ответ: $f(x) = 0$ при $x = 0$; $f(x) > 0$ ни при каких $x$; $f(x) < 0$ при $x \in [-4, 0) \cup (0, 5]$.

д) где функция возрастает, где убывает

Проанализируем поведение функции на каждом участке, двигаясь слева направо по оси Ox.
- На промежутке $[-4, -1)$ функция постоянна ($y = -1$).
- На промежутке $[-1, 0]$ график идет вверх, значит, функция возрастает.
- На промежутке $[0, 2]$ график идет вниз, функция убывает.
- На промежутке $(2, 5]$ график также идет вниз, функция убывает.
Поскольку в точке $x=2$ функция непрерывна, можно объединить промежутки убывания.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 0]$; функция убывает на промежутке $[0, 5]$; функция постоянна на промежутке $[-4, -1)$.