Страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

47.4 Постройте прямоугольник с вершинами в точках $A(-2; 0)$, $B(-2; 4)$, $C(2; 4)$, $D(2; 0)$.

а) Сколько точек, у которых обе координаты — целые числа, принадлежит полученному прямоугольнику (включая его границы)?

б) Изобразите часть графика функции $y = x^2$, которая принадлежит этому прямоугольнику.

в) Сколько точек из пункта а) лежит ниже графика; на графике; выше графика? Заполните таблицу распределения точек:

а) Прямоугольник ABCD с вершинами A(-2; 0), B(-2; 4), C(2; 4), D(2; 0) ограничен вертикальными линиями $x=-2$ и $x=2$ и горизонтальными линиями $y=0$ и $y=4$. Точка с целыми координатами $(x, y)$ принадлежит этому прямоугольнику, если её координаты являются целыми числами и удовлетворяют следующим неравенствам:

$-2 \le x \le 2$

$0 \le y \le 4$

Найдем количество целых значений для каждой координаты в указанных диапазонах:

Возможные целые значения для координаты $x$: -2, -1, 0, 1, 2. Всего 5 различных значений.

Возможные целые значения для координаты $y$: 0, 1, 2, 3, 4. Всего 5 различных значений.

Общее количество точек с целыми координатами внутри прямоугольника и на его границах равно произведению количества возможных значений для $x$ и $y$:

$5 \times 5 = 25$

Ответ: 25 точек.

б) График функции $y = x^2$ — это парабола, симметричная относительно оси OY, с вершиной в начале координат (0; 0) и ветвями, направленными вверх. Нам нужно изобразить ту часть параболы, которая находится внутри прямоугольника, заданного условиями $-2 \le x \le 2$ и $0 \le y \le 4$.

Проверим, где находится парабола относительно границ прямоугольника. Вершина параболы (0; 0) лежит на нижней границе прямоугольника (отрезок AD). При $x=-2$, $y=(-2)^2=4$. Точка (-2; 4) совпадает с вершиной B прямоугольника. При $x=2$, $y=(2)^2=4$. Точка (2; 4) совпадает с вершиной C прямоугольника. Для любого $x$ в интервале $(-2; 2)$, значение $x^2$ будет меньше 4, то есть $0 \le x^2 \le 4$. Таким образом, вся часть параболы на отрезке $x \in [-2, 2]$ целиком лежит внутри заданного прямоугольника.

Ответ: Часть графика, принадлежащая прямоугольнику, — это дуга параболы $y = x^2$, которая соединяет точки B(-2; 4) и C(2; 4) и проходит через начало координат O(0; 0).

в) Нам нужно классифицировать все 25 точек с целыми координатами из пункта а) относительно графика функции $y = x^2$. Точка $(x_0, y_0)$ находится:

• Ниже графика, если $y_0 < x_0^2$.
• На графике, если $y_0 = x_0^2$.
• Выше графика, если $y_0 > x_0^2$.

Проанализируем точки для каждого целого $x$ из отрезка $[-2, 2]$.

Точки на графике ($y = x^2$):

Ищем целочисленные решения уравнения в границах прямоугольника.

• $x = -2 \implies y = (-2)^2 = 4$. Точка (-2; 4).
• $x = -1 \implies y = (-1)^2 = 1$. Точка (-1; 1).
• $x = 0 \implies y = 0^2 = 0$. Точка (0; 0).
• $x = 1 \implies y = 1^2 = 1$. Точка (1; 1).
• $x = 2 \implies y = 2^2 = 4$. Точка (2; 4).

Итого 5 точек лежат на графике.

Точки ниже графика ($y < x^2$):

• При $x = -2$ ($x^2 = 4$), $y < 4$: $y \in \{0, 1, 2, 3\}$. (4 точки)
• При $x = -1$ ($x^2 = 1$), $y < 1$: $y \in \{0\}$. (1 точка)
• При $x = 0$ ($x^2 = 0$), $y < 0$: нет таких $y$. (0 точек)
• При $x = 1$ ($x^2 = 1$), $y < 1$: $y \in \{0\}$. (1 точка)
• При $x = 2$ ($x^2 = 4$), $y < 4$: $y \in \{0, 1, 2, 3\}$. (4 точки)

Всего ниже графика: $4 + 1 + 0 + 1 + 4 = \textbf{10 точек}$.

Точки выше графика ($y > x^2$):

Количество этих точек можно найти, вычтя из общего числа точек те, что на графике и ниже: $25 - 5 - 10 = 10$. Проверим прямым подсчетом:

• При $x = -2$ ($x^2 = 4$), $y > 4$: нет таких $y$. (0 точек)
• При $x = -1$ ($x^2 = 1$), $y > 1$: $y \in \{2, 3, 4\}$. (3 точки)
• При $x = 0$ ($x^2 = 0$), $y > 0$: $y \in \{1, 2, 3, 4\}$. (4 точки)
• При $x = 1$ ($x^2 = 1$), $y > 1$: $y \in \{2, 3, 4\}$. (3 точки)
• При $x = 2$ ($x^2 = 4$), $y > 4$: нет таких $y$. (0 точек)

Всего выше графика: $0 + 3 + 4 + 3 + 0 = \textbf{10 точек}$.

Заполненная таблица распределения точек:

Ответ: Ниже графика — 10 точек, на графике — 5 точек, выше графика — 10 точек.

47.5 На каждом этаже в подъезде девятиэтажного дома по одной двухкомнатной, по одной трёхкомнатной и по две однокомнатных квартиры. В таблице приведены сведения о расходе электроэнергии за декабрь.

№ квартиры | кВт $\cdot$ ч | № квартиры | кВт $\cdot$ ч | № квартиры | кВт $\cdot$ ч

1 | 385 | 13 | 406 | 25 | 357

2 | 124 | 14 | 112 | 26 | 143

3 | 230 | 15 | 220 | 27 | 210

4 | 130 | 16 | 110 | 28 | 167

5 | 304 | 17 | 290 | 29 | 420

6 | 168 | 18 | 98 | 30 | 152

7 | 256 | 19 | 215 | 31 | 263

8 | 131 | 20 | 150 | 32 | 87

9 | 410 | 21 | 340 | 33 | 440

10 | 205 | 22 | 136 | 34 | 264

11 | 307 | 23 | 276 | 35 | 233

12 | 160 | 24 | 67 | 36 | 172

а) Сколько различных показаний расхода электроэнергии получилось?

б) Какие номера, судя по показаниям расхода электроэнергии, имеют трёхкомнатные квартиры?

в) В скольких квартирах расход оказался меньше 100 кВт $\cdot$ ч?

г) В скольких квартирах расход оказался больше 400 кВт $\cdot$ ч?

а) Сколько различных показаний расхода электроэнергии получилось?
Чтобы определить количество различных показаний, нужно проанализировать все 36 значений расхода электроэнергии, представленные в таблице, и посчитать количество уникальных значений.
Данные по расходу (кВт·ч): 385, 124, 230, 130, 304, 168, 256, 131, 410, 205, 307, 160, 406, 112, 220, 110, 290, 98, 215, 150, 340, 136, 276, 67, 357, 143, 210, 167, 420, 152, 263, 87, 440, 264, 233, 172.
Всего в таблице представлено 36 показаний. Проверив список на наличие повторений, мы видим, что все значения уникальны. Следовательно, количество различных показаний равно общему количеству квартир.
Ответ: 36.

б) Какие номера, судя по показаниям расхода электроэнергии, имеют трёхкомнатные квартиры?
В условии задачи сказано, что дом девятиэтажный, и на каждом этаже есть по одной трёхкомнатной квартире. Значит, всего в подъезде 9 трёхкомнатных квартир ($9 \cdot 1 = 9$).
Логично предположить, что расход электроэнергии в трёхкомнатных квартирах, как правило, самый высокий, так как они имеют большую площадь и в них может проживать больше людей. Поэтому для ответа на этот вопрос нужно найти 9 квартир с наибольшим потреблением электроэнергии.
Выпишем показания расхода по убыванию и найдём 9 самых больших значений:
1. 440 кВт·ч (квартира № 33)
2. 420 кВт·ч (квартира № 29)
3. 410 кВт·ч (квартира № 9)
4. 406 кВт·ч (квартира № 13)
5. 385 кВт·ч (квартира № 1)
6. 357 кВт·ч (квартира № 25)
7. 340 кВт·ч (квартира № 21)
8. 307 кВт·ч (квартира № 11)
9. 304 кВт·ч (квартира № 5)
Ответ: 1, 5, 9, 11, 13, 21, 25, 29, 33.

в) В скольких квартирах расход оказался меньше 100 кВт·ч?
Для ответа на этот вопрос необходимо найти в таблице все значения расхода, которые меньше 100 кВт·ч, и посчитать их количество.
Просматривая таблицу, находим следующие квартиры:
- Квартира № 18: 98 кВт·ч ($98 < 100$)
- Квартира № 24: 67 кВт·ч ($67 < 100$)
- Квартира № 32: 87 кВт·ч ($87 < 100$)
Всего таких квартир 3.
Ответ: 3.

г) В скольких квартирах расход оказался больше 400 кВт·ч?
Аналогично предыдущему пункту, найдём в таблице все значения расхода, которые больше 400 кВт·ч, и посчитаем их количество.
Просматривая таблицу, находим следующие квартиры:
- Квартира № 9: 410 кВт·ч ($410 > 400$)
- Квартира № 13: 406 кВт·ч ($406 > 400$)
- Квартира № 29: 420 кВт·ч ($420 > 400$)
- Квартира № 33: 440 кВт·ч ($440 > 400$)
Всего таких квартир 4.
Ответ: 4.