Номер 47.3, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

47.3 а) Заполните таблицу распределения значений функции $y = x^2$, $x = 0, 1, 2, ..., 28, 29$:

б) Переведите эту таблицу в таблицу распределения процентных частот.

в) Постройте круговую диаграмму распределения процентных частот.

г) Разбейте промежуток от 0 до 1000 на три промежутка так, чтобы каждому из них принадлежало по 10 значений этой функции.

а)

Для функции $y = x^2$ при $x$, принимающем целые значения от 0 до 29 (всего 30 значений), необходимо подсчитать, сколько значений функции попадает в каждый из указанных промежутков.

• Промежуток от 0 до 300:
  Ищем количество целых $x$ таких, что $0 \le x^2 < 300$. Это неравенство эквивалентно $0 \le x < \sqrt{300}$. Поскольку $\sqrt{300} \approx 17.32$, подходящие значения $x$: $0, 1, 2, ..., 17$. Количество таких значений: $17 - 0 + 1 = 18$.
• Промежуток от 300 до 600:
  Ищем количество целых $x$ таких, что $300 \le x^2 < 600$. Это эквивалентно $\sqrt{300} \le x < \sqrt{600}$, или $17.32 \le x < 24.49$. Подходящие значения $x$: $18, 19, ..., 24$. Количество таких значений: $24 - 18 + 1 = 7$.
• Промежуток от 600 до 1000:
  Ищем количество целых $x$ таких, что $600 \le x^2 < 1000$. Это эквивалентно $\sqrt{600} \le x < \sqrt{1000}$, или $24.49 \le x < 31.62$. Учитывая, что максимальное значение $x=29$, подходят значения $x$: $25, 26, ..., 29$. Количество таких значений: $29 - 25 + 1 = 5$.

Проверка общего количества: $18 + 7 + 5 = 30$, что соответствует общему числу значений $x$.

Ответ:

б)

Для перевода таблицы в таблицу процентных частот, найдем долю каждой группы от общего числа значений (30) и выразим ее в процентах по формуле: $(\text{частота} / \text{общее число}) \times 100\%$.

• Промежуток от 0 до 300: $ \frac{18}{30} \times 100\% = 0.6 \times 100\% = 60\%$.
• Промежуток от 300 до 600: $ \frac{7}{30} \times 100\% = \frac{70}{3}\% = 23\frac{1}{3}\%$.
• Промежуток от 600 до 1000: $ \frac{5}{30} \times 100\% = \frac{1}{6} \times 100\% = \frac{50}{3}\% = 16\frac{2}{3}\%$.

Ответ:

в)

Для построения круговой диаграммы рассчитаем углы секторов, соответствующие каждой процентной частоте. Полный круг равен $360°$.

• От 0 до 300 (60%): Угол = $360° \times 0.6 = 216°$.
• От 300 до 600 ($23\frac{1}{3}\%$): Угол = $360° \times \frac{7}{30} = 84°$.
• От 600 до 1000 ($16\frac{2}{3}\%$): Угол = $360° \times \frac{5}{30} = 60°$.

Проверка суммы углов: $216° + 84° + 60° = 360°$.

Ответ:

г)

Необходимо разбить 30 значений функции $y = x^2$ (для $x = 0, ..., 29$) на три равные группы по 10 значений в каждой и определить соответствующие промежутки для $y$. Значения $y$ упорядочены по возрастанию, так как $x$ упорядочен.

• Первые 10 значений:
  Соответствуют $x = 0, 1, ..., 9$.
  Значения $y$ лежат в диапазоне от $y_{min} = 0^2 = 0$ до $y_{max} = 9^2 = 81$.
  Следующее значение при $x=10$ равно $10^2 = 100$. Таким образом, подходящий промежуток — от 0 до 100.
• Следующие 10 значений:
  Соответствуют $x = 10, 11, ..., 19$.
  Значения $y$ лежат в диапазоне от $y_{min} = 10^2 = 100$ до $y_{max} = 19^2 = 361$.
  Следующее значение при $x=20$ равно $20^2 = 400$. Таким образом, подходящий промежуток — от 100 до 400.
• Последние 10 значений:
  Соответствуют $x = 20, 21, ..., 29$.
  Значения $y$ лежат в диапазоне от $y_{min} = 20^2 = 400$ до $y_{max} = 29^2 = 841$.
  Поскольку мы разбиваем общий промежуток от 0 до 1000, этот промежуток можно определить как от 400 до 1000.

Ответ: Искомые промежутки: от 0 до 100, от 100 до 400 и от 400 до 1000.