Номер 46.45, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.45 При каких значениях b уравнение $f(x) = b$, где

$f(x) = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } x \le -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 < x \le 2, \end{cases}$

а) имеет один корень;

б) имеет два корня;

в) имеет три корня;

г) не имеет корней?

Для решения задачи необходимо определить, сколько раз горизонтальная прямая $y=b$ пересекает график функции $f(x)$. Для этого сначала построим и проанализируем график функции $f(x)$.

Функция задана кусочно:

$f(x) = \begin{cases} -2x - 2, & \text{если } x \le -1; \\ -x^2, & \text{если } -1 < x \le 2. \end{cases}$

1. На промежутке $(-\infty, -1]$ график функции совпадает с графиком линейной функции $y = -2x - 2$. Это луч. Найдем координаты его начальной точки, подставив $x = -1$: $y = -2(-1) - 2 = 0$. Таким образом, луч начинается в точке $(-1, 0)$. Поскольку угловой коэффициент равен -2 (отрицательный), функция на этом участке убывает, и ее значения принадлежат промежутку $[0, +\infty)$.

2. На промежутке $(-1, 2]$ график функции совпадает с графиком квадратичной функции $y = -x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$.

• Вершина $(0, 0)$ принадлежит рассматриваемому промежутку, так как $-1 < 0 \le 2$. В этой точке функция достигает своего локального максимума, равного 0.
• Найдем значения на границах промежутка. При $x=2$, $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ принадлежит графику.
• При $x$, стремящемся к $-1$ справа ($x \to -1^+$), значение $y$ стремится к $-(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$ не принадлежит этому участку графика (является "выколотой").
• Значения функции на этом участке покрывают промежуток $[-4, 0]$.

Теперь, анализируя положение горизонтальной прямой $y=b$ относительно построенного графика, найдем количество корней уравнения $f(x)=b$.

а) имеет один корень

Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке. Это происходит в следующих случаях:

• Когда прямая пересекает только линейный участок (луч), что соответствует значениям $b > 0$.
• Когда прямая $y = -4$ касается параболического участка в его крайней точке $(2, -4)$.
• Когда прямая проходит между значениями $y=-4$ и $y=-1$, то есть $-4 < b < -1$. В этом случае она пересекает только правую ветвь параболы на заданном интервале.
• Когда прямая $y = -1$ пересекает параболу в точке $x=1$ (решение уравнения $-x^2=-1$) и проходит через "выколотую" точку $(-1, -1)$.

Объединив эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $b \in (0, +\infty) \cup [-4, -1]$.

Ответ: $b \in [-4, -1] \cup (0, +\infty)$.

б) имеет два корня

Уравнение имеет два корня, когда прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ в двух точках. Это происходит в следующих случаях:

• Когда $b=0$, прямая $y=0$ пересекает график в двух точках: $x=-1$ (на луче) и $x=0$ (вершина параболы).
• Когда $-1 < b < 0$, прямая пересекает параболический участок в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$ (например, для $b = -0.25$, корни $x = \pm 0.5$). Оба корня принадлежат интервалу $(-1, 2]$.

Объединив эти случаи, получаем, что уравнение имеет два корня при $b \in (-1, 0]$.

Ответ: $b \in (-1, 0]$.

в) имеет три корня

Уравнение имеет три корня, когда прямая $y=b$ пересекает график функции $y=f(x)$ в трех точках. Проанализировав график, можно заключить, что ни одна горизонтальная прямая не может пересечь его более чем в двух точках. Следовательно, не существует таких значений $b$, при которых уравнение имело бы три корня.

Ответ: таких значений $b$ не существует.

г) не имеет корней

Уравнение не имеет корней, когда прямая $y=b$ не имеет общих точек с графиком функции $y=f(x)$. Наименьшее значение функции равно -4 (в точке $x=2$). Если значение $b$ будет меньше этого числа, пересечений не будет.

Следовательно, уравнение не имеет корней при $b < -4$.

Ответ: $b < -4$.