Номер 46.38, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.38 а) На рис. 65;

б) на рис. 66;

в) на рис. 67;

г) на рис. 68.

Рис. 65

Рис. 66

Рис. 67

Рис. 68

а)
График функции, изображенный на рисунке 65, состоит из двух частей, соединенных в точке $(0,0)$.
1. При $x \le 0$ график представляет собой ветвь параболы с вершиной в точке $(0,0)$, проходящую через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 4)$. Это соответствует функции $y = x^2$.
2. При $x > 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0,0)$ и проходящий через точку $(4, 2)$. Уравнение прямой, проходящей через точки $(0,0)$ и $(4,2)$, имеет вид $y = kx$. Найдем коэффициент наклона $k$: $k = \frac{2-0}{4-0} = \frac{1}{2}$. Таким образом, для $x > 0$ функция задается формулой $y = \frac{1}{2}x$.
Объединяя обе части, получаем кусочно-заданную функцию:
$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б)
График функции, изображенный на рисунке 66, является кусочной функцией, определенной на промежутке $(-4, +\infty)$ и имеющей разрыв в точке $x=1$. Рассмотрим каждый участок отдельно.
1. На промежутке $(-4, 0]$ график представляет собой часть параболы с вершиной в $(0,0)$. Он проходит через точку $(-2, 1)$. Подставим координаты в уравнение $y=ax^2$: $1 = a(-2)^2$, откуда $a = \frac{1}{4}$. Итак, на этом участке функция задается формулой $y = \frac{1}{4}x^2$. В точке $x=-4$ находится выколотая точка (открытый круг), значение функции в ней $y = \frac{1}{4}(-4)^2 = 4$, что соответствует графику.
2. На промежутке $(0, 1)$ график также является частью параболы, выходящей из точки $(0,0)$ и заканчивающейся выколотой точкой в $(1,1)$. Это соответствует функции $y=x^2$.
3. При $x \ge 1$ график начинается с закрашенной точки $(1,2)$ и проходит через точку $(2,5)$. Это соответствует параболе, сдвинутой вверх. Проверим формулу $y = x^2 + 1$. При $x=1$, $y=1^2+1=2$. При $x=2$, $y=2^2+1=5$. Формула верна.
Объединяя все части, получаем:
$y = \begin{cases} \frac{1}{4}x^2, & \text{если } x \in (-4, 0] \\ x^2, & \text{если } x \in (0, 1) \\ x^2+1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$
Ответ: $y = \begin{cases} \frac{1}{4}x^2, & \text{если } x \in (-4, 0] \\ x^2, & \text{если } x \in (0, 1) \\ x^2+1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

в)
График функции, изображенный на рисунке 67, имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0,0)$, что характерно для функции модуля $y = a|x|$.
1. Левая ветвь (при $x < 0$) является прямой, проходящей через точки $(0,0)$ и $(-1,2)$. Уравнение этой прямой $y=kx$. Найдем $k$: $2 = k(-1)$, откуда $k=-2$. Таким образом, при $x \le 0$ имеем $y = -2x$.
2. Правая ветвь (при $x > 0$) является прямой, проходящей через точки $(0,0)$, $(1,2)$ и $(2,4)$. Уравнение этой прямой $y=kx$. Найдем $k$: $2=k(1)$, откуда $k=2$. Таким образом, при $x > 0$ имеем $y = 2x$.
Объединяя обе ветви, получаем функцию $y = 2|x|$.
Выколотая точка $(1,3)$ на графике, по-видимому, является опечаткой, так как она не соответствует общей структуре графика, где при $x=1$ значение функции должно быть $y=2|1|=2$.
Ответ: $y = 2|x|$

г)
График функции, изображенный на рисунке 68, представляет собой параболу, определенную на открытом интервале $x \in (-1, 2)$.
1. На концах интервала находятся выколотые точки: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.
2. График проходит через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.
Будем искать уравнение параболы в виде $y=ax^2+bx+c$.
Так как график проходит через $(0,-1)$, то $c=-1$. Уравнение принимает вид $y=ax^2+bx-1$.
Используем координаты граничных точек, чтобы найти коэффициенты $a$ и $b$.
Для точки $(-1, 1)$: $a(-1)^2 + b(-1) - 1 = 1 \implies a - b = 2$.
Для точки $(2, 4)$: $a(2)^2 + b(2) - 1 = 4 \implies 4a + 2b = 5$.
Получили систему уравнений:
$\begin{cases} a - b = 2 \\ 4a + 2b = 5 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $a = b+2$ и подставим во второе:
$4(b+2) + 2b = 5$
$4b + 8 + 2b = 5$
$6b = -3 \implies b = -\frac{1}{2}$.
Тогда $a = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.
Таким образом, функция задается формулой $y = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 1$ на интервале $(-1, 2)$.
Проверим, проходит ли график через точку $(1,0)$: $y(1) = \frac{3}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(1) - 1 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка принадлежит графику.
Ответ: $y = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x - 1$, где $x \in (-1, 2)$