Номер 46.32, страница 206, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.32 а) На рис. 57; б) на рис. 58; в) на рис. 59; г) на рис. 60.

Рис. 57

$y$, $x$, O, 1, 4, -4

Рис. 58

$y$, $x$, O, -1, 1, 2, 4

Рис. 59

$y$, $x$, O, -1, 1, 2, -4

Рис. 60

$y$, $x$, O, -2, 1, 5

а) Для функции, изображенной на рис. 57, найдем область определения и область значений.

Область определения функции ($D(f)$) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Глядя на график, мы видим, что он непрерывно простирается влево (к $-\infty$) и вправо (к $+\infty$). На графике нет выколотых точек или вертикальных асимптот, ограничивающих значения $x$. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Область значений функции ($E(f)$) — это множество всех значений, которые принимает функция $y$. На графике видно, что максимальное значение функция достигает в точке $(0, 0)$, то есть $y_{max} = 0$. Обе ветви графика уходят вниз, в сторону $-\infty$. Таким образом, функция принимает все значения от $-\infty$ до $0$ включительно.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(f) = (-\infty; 0]$.

б) Для функции, изображенной на рис. 58, найдем область определения и область значений.

Область определения ($D(f)$): На графике в точке $x = -1$ находится выколотая точка, что означает, что функция в этой точке не определена. График начинается сразу после $x = -1$ и простирается вправо до $+\infty$. Таким образом, область определения — это все числа, строго большие $-1$.

Область значений ($E(f)$): Найдем минимальное и максимальное значения функции. Минимальное значение достигается в вершине параболического участка, в точке $(0, 0)$, то есть $y_{min} = 0$. При $x$, стремящемся к $-1$ справа, значения $y$ стремятся к $1$ (но не достигают его в этой точке). Участок от $x=-1$ до $x=2$ покрывает значения $y$ от $0$ до $4$. При $x \ge 2$ функция постоянна и равна $y=4$. Таким образом, функция принимает все значения от $0$ включительно до $4$ включительно.

Ответ: Область определения $D(f) = (-1; +\infty)$. Область значений $E(f) = [0; 4]$.

в) Для функции, изображенной на рис. 59, найдем область определения и область значений.

Область определения ($D(f)$): График функции существует на отрезке от $x = -4$ до $x = 2$. Точка при $x = -4$ закрашена, значит, это значение входит в область определения. Точка при $x = 2$ также закрашена. На промежутке $(-4, 2)$ разрывов нет (в точке $x=-1$ значение функции определено и равно $-2$, так как точка $(-1, -2)$ закрашена). Следовательно, область определения — это отрезок $[-4, 2]$.

Область значений ($E(f)$): Определим наименьшее и наибольшее значения функции на всей области определения. Наименьшее значение достигается в точке $(2, -4)$, следовательно, $y_{min} = -4$. Наибольшее значение достигается в точке $(0, 0)$, то есть $y_{max} = 0$. На отрезке $[-4, -1]$ функция принимает значение $y=-2$. На интервале $(-1, 2]$ функция принимает значения из отрезка $[-4, 0)$. Объединяя все возможные значения $y$, получаем, что область значений — это отрезок от $-4$ до $0$.

Ответ: Область определения $D(f) = [-4; 2]$. Область значений $E(f) = [-4; 0]$.

г) Для функции, изображенной на рис. 60, найдем область определения и область значений.

Область определения ($D(f)$): График функции определен для $x$ от $-2$ до $5$. Точка при $x = -2$ выколота, значит, это значение не входит в область определения. Точка при $x = 5$ также выколота. В точке $x=1$ функция определена. Таким образом, область определения — это интервал $(-2, 5)$.

Область значений ($E(f)$): Найдем множество всех значений $y$. Минимальное значение достигается в точке $(0, 0)$, то есть $y_{min} = 0$. Рассмотрим поведение функции на краях области определения. При $x$, стремящемся к $-2$ справа, $y$ стремится к $4$. При $x$, стремящемся к $5$ слева, $y$ стремится к $5$. Левый участок графика ($x \in (-2, 1]$) покрывает значения $y \in [0, 4)$. Правый участок графика ($x \in [1, 5)$) покрывает значения $y \in [1, 5)$. Объединяя эти два множества значений $[0, 4) \cup [1, 5)$, получаем итоговый полуинтервал $[0, 5)$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-2; 5)$. Область значений $E(f) = [0; 5)$.