Номер 46.27, страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.27 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2 - x, \text{ если } -4 \le x < -2; \\ x^2, \text{ если } -2 \le x \le 2; \\ 0.5x + 3, \text{ если } 2 < x \le 4. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-4)$, $f(-2)$, $f(1)$, $f(4)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) С помощью графика найдите значения аргумента, если $f(x) = 1$, $f(x) = 0$, $f(x) = 5$, $f(x) = 6$.

а) Вычислите f(-4), f(-2), f(1), f(4).

Для вычисления значений функции необходимо определить, в какой из трех заданных интервалов попадает значение аргумента $x$, и затем использовать соответствующую формулу.

• Для вычисления $f(-4)$, заметим, что значение $x = -4$ принадлежит промежутку $-4 \le x < -2$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 2 - x$.
  $f(-4) = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6$.

• Для вычисления $f(-2)$, заметим, что значение $x = -2$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 2$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x^2$.
  $f(-2) = (-2)^2 = 4$.

• Для вычисления $f(1)$, заметим, что значение $x = 1$ принадлежит промежутку $-2 \le x \le 2$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x^2$.
  $f(1) = 1^2 = 1$.

• Для вычисления $f(4)$, заметим, что значение $x = 4$ принадлежит промежутку $2 < x \le 4$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 0,5x + 3$.
  $f(4) = 0,5 \cdot 4 + 3 = 2 + 3 = 5$.

Ответ: $f(-4)=6$, $f(-2)=4$, $f(1)=1$, $f(4)=5$.

б) Постройте график функции y = f(x).

График данной кусочно-заданной функции состоит из трех частей, каждая на своем промежутке.

1. На промежутке $[-4; -2)$ функция задается формулой $y = 2 - x$. Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его концов:
   При $x = -4$, $y = 2 - (-4) = 6$. Точка $(-4, 6)$ принадлежит графику (неравенство нестрогое).
   При $x$, стремящемся к $-2$ слева, $y$ стремится к $2 - (-2) = 4$. Точка $(-2, 4)$ не принадлежит этому участку графика (неравенство строгое), поэтому она будет "выколотой".

2. На промежутке $[-2; 2]$ функция задается формулой $y = x^2$. Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Найдем координаты ее концов:
   При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ принадлежит графику.
   При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику.

3. На промежутке $(2; 4]$ функция задается формулой $y = 0,5x + 3$. Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его концов:
   При $x$, стремящемся к $2$ справа, $y$ стремится к $0,5 \cdot 2 + 3 = 4$. Точка $(2, 4)$ не принадлежит этому участку графика (неравенство строгое), поэтому она будет "выколотой".
   При $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4 + 3 = 5$. Точка $(4, 5)$ принадлежит графику.

Для построения графика нанесем вычисленные точки на координатную плоскость и соединим их. Заметим, что в точках $x = -2$ и $x = 2$ разрывов нет, так как значения функции, вычисленные для разных участков, совпадают ($y=4$). "Выколотые" точки одного участка "закрываются" сплошными точками другого.

Ответ: График строится путем последовательного черчения отрезка прямой от точки $(-4, 6)$ до точки $(-2, 4)$, затем участка параболы от $(-2, 4)$ через $(0, 0)$ до $(2, 4)$, и, наконец, отрезка прямой от $(2, 4)$ до $(4, 5)$.

в) С помощью графика найдите значения аргумента, если f(x) = 1, f(x) = 0, f(x) = 5, f(x) = 6.

Чтобы найти значения аргумента $x$ по известному значению функции $f(x)$, необходимо найти точки пересечения графика функции $y=f(x)$ с соответствующими горизонтальными прямыми $y=k$.

• $f(x) = 1$: Проводим горизонтальную прямую $y = 1$. Она пересекает график на участке параболы $y=x^2$ (так как $0 \le 1 \le 4$). Решаем уравнение $x^2 = 1$ на промежутке $[-2; 2]$.
  Корни $x = 1$ и $x = -1$. Оба корня принадлежат промежутку $[-2; 2]$.

• $f(x) = 0$: Прямая $y = 0$ (ось абсцисс) пересекает график в одной точке — вершине параболы.
  Решаем уравнение $x^2 = 0$. Корень $x = 0$, который принадлежит промежутку $[-2; 2]$.

• $f(x) = 5$: Прямая $y = 5$ пересекает график в двух точках.
  Одна точка лежит на первом участке $y = 2 - x$. Решаем $2 - x = 5 \implies x = -3$. Корень принадлежит промежутку $[-4; -2)$.
  Другая точка лежит на третьем участке $y = 0,5x + 3$. Решаем $0,5x + 3 = 5 \implies 0,5x = 2 \implies x = 4$. Корень принадлежит промежутку $(2; 4]$.

• $f(x) = 6$: Прямая $y = 6$ пересекает график в одной точке на первом участке $y = 2 - x$.
  Решаем $2 - x = 6 \implies x = -4$. Корень принадлежит промежутку $[-4; -2)$.

Ответ: $f(x)=1$ при $x = -1$ и $x = 1$; $f(x)=0$ при $x=0$; $f(x)=5$ при $x = -3$ и $x = 4$; $f(x)=6$ при $x = -4$.