Номер 46.21, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.21 Для функции из упражнения 46.18 а) найдите:

а) область определения;

б) наименьшее и наибольшее значения;

в) промежутки убывания и возрастания;

г) точки разрыва.

Данная задача относится к функции из упражнения 46.18 а), которая задается следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} 2x+8, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x \le 2 \\ 5, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Проанализируем эту функцию по пунктам.

а) область определения;

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Данная функция определена для всех действительных чисел, так как она задана на трех промежутках, которые в объединении покрывают всю числовую ось:

• На промежутке $(-\infty, -2]$ функция задана формулой $f(x) = 2x+8$.
• На промежутке $(-2, 2]$ функция задана формулой $f(x) = x^2$.
• На промежутке $(2, +\infty)$ функция задана формулой $f(x) = 5$.

Объединение этих промежутков $(-\infty, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, +\infty)$ дает множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

б) наименьшее и наибольшее значения;

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции, исследуем ее поведение на каждом из промежутков области определения.

1. На промежутке $(-\infty, -2]$ функция $f(x) = 2x+8$ является возрастающей линейной функцией. При $x \to -\infty$, значение $f(x) \to -\infty$. Максимальное значение на этом отрезке достигается при $x=-2$: $f(-2) = 2(-2)+8 = 4$. Таким образом, на этом промежутке множество значений функции равно $(-\infty, 4]$.

2. На промежутке $(-2, 2]$ функция $f(x) = x^2$ представляет собой параболу с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 0)$. Наименьшее значение на этом промежутке достигается в вершине: $f(0) = 0$. Наибольшее значение достигается на концах промежутка. При $x \to -2^+$, $f(x) \to (-2)^2 = 4$. При $x=2$, $f(2) = 2^2 = 4$. Таким образом, на этом промежутке множество значений функции равно $[0, 4]$.

3. На промежутке $(2, +\infty)$ функция $f(x) = 5$ является постоянной. Множество значений на этом промежутке состоит из одного числа $\{5\}$.

Объединяя все полученные множества значений, получаем область значений функции: $E(f) = (-\infty, 4] \cup [0, 4] \cup \{5\} = (-\infty, 4] \cup \{5\}$.

Из области значений видно, что функция не ограничена снизу ($f(x) \to -\infty$ при $x \to -\infty$), следовательно, наименьшего значения у функции не существует.

Наибольшим значением в множестве $(-\infty, 4] \cup \{5\}$ является число 5. Это значение достигается при любом $x > 2$. Следовательно, наибольшее значение функции равно 5.

Ответ: Наименьшее значение не существует, наибольшее значение равно 5.

в) промежутки убывания и возрастания;

Для определения промежутков монотонности исследуем поведение функции на каждом участке.

1. На интервале $(-\infty, -2)$ функция $f(x) = 2x+8$. Ее производная $f'(x) = 2 > 0$, следовательно, функция строго возрастает на этом интервале. Так как в точке $x=-2$ функция непрерывна слева, то она возрастает на всем промежутке $(-\infty, -2]$.

2. На интервале $(-2, 2)$ функция $f(x) = x^2$. Ее производная $f'(x) = 2x$.

• При $x \in (-2, 0)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
• При $x \in (0, 2)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Учитывая непрерывность функции в точках $x=-2$ и $x=0$, можно утверждать, что функция убывает на промежутке $[-2, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, 2]$.

3. На интервале $(2, +\infty)$ функция $f(x) = 5$ является постоянной.

Объединяем полученные результаты:

• Промежутки возрастания: $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$.
• Промежуток убывания: $[-2, 0]$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$, убывает на промежутке $[-2, 0]$.

г) точки разрыва.

Функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точках $x=-2$ и $x=2$. В остальных точках она непрерывна как элементарная функция (линейная, квадратичная, постоянная).

Проверим непрерывность в точке $x = -2$. Для непрерывности в точке необходимо, чтобы существовал предел функции в этой точке и он был равен значению функции в этой точке: $\lim_{x\to-2} f(x) = f(-2)$.
Значение функции в точке: $f(-2) = 2(-2)+8 = 4$.
Найдем односторонние пределы:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} (2x+8) = 2(-2)+8 = 4$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} x^2 = (-2)^2 = 4$.

Так как левосторонний и правосторонний пределы равны и совпадают со значением функции в точке ($4 = 4$), функция непрерывна в точке $x=-2$.

Проверим непрерывность в точке $x = 2$.
Значение функции в точке: $f(2) = 2^2 = 4$.
Найдем односторонние пределы:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 2^2 = 4$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 5 = 5$.

Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq \lim_{x \to 2^+} f(x)$), предел функции в точке $x=2$ не существует. Следовательно, функция имеет разрыв в точке $x=2$. Поскольку односторонние пределы существуют, но не равны, это разрыв первого рода (скачок).

Ответ: Точка разрыва $x=2$.