Номер 46.14, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.14 а) $y = \begin{cases} 1, & \text{если } -4 \le x \le -1; \\ 2x + 3, & \text{если } -1 < x \le 1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 0, & \text{если } -5 \le x \le -2; \\ x + 2, & \text{если } -2 < x \le 2. \end{cases}$

а)

Данная функция является кусочно-заданной. Она определена на двух промежутках. Для построения графика и анализа функции рассмотрим каждую часть отдельно.

1. На промежутке $x \in [-4, -1]$ функция задана как $y=1$. Графиком этой части является отрезок горизонтальной прямой. Концевые точки этого отрезка имеют координаты $(-4, 1)$ и $(-1, 1)$. Так как неравенства нестрогие ($\le$), обе точки включаются в график (на графике они изображаются закрашенными).

2. На промежутке $x \in (-1, 1]$ функция задана как $y = 2x + 3$. Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его концевых точек. При $x$, стремящемся к $-1$ справа, $y$ стремится к $2(-1) + 3 = 1$. Точка $(-1, 1)$ является началом этого отрезка, но не включается в него, так как неравенство строгое ($<$) (на графике она изображается выколотой). При $x = 1$, $y = 2(1) + 3 = 5$. Точка $(1, 5)$ является концом отрезка и включается в него, так как неравенство нестрогое ($\le$) (на графике она изображается закрашенной).

Соединяя эти две части, мы видим, что в точке $x = -1$ первая часть заканчивается закрашенной точкой $(-1, 1)$, а вторая начинается с выколотой точки $(-1, 1)$. Это значит, что график в этой точке непрерывен.

Область определения функции $D(y)$ — это все значения $x$, для которых функция определена. Она является объединением промежутков $[-4, -1]$ и $(-1, 1]$, что дает $D(y) = [-4, 1]$.

Область значений функции $E(y)$ — это все значения $y$, которые функция принимает. На первом отрезке $y$ всегда равно $1$. На втором отрезке, поскольку функция $y = 2x + 3$ возрастает, значения $y$ изменяются от $1$ (не включая) до $5$ (включая), то есть принадлежат промежутку $(1, 5]$. Объединяя значения с обоих участков, получаем $E(y) = \{1\} \cup (1, 5] = [1, 5]$.

Ответ: График функции состоит из отрезка прямой $y=1$ на промежутке $x \in [-4, -1]$ и отрезка прямой $y=2x+3$ на промежутке $x \in (-1, 1]$. Область определения функции $D(y) = [-4, 1]$. Область значений функции $E(y) = [1, 5]$.

б)

Данная функция является кусочно-заданной и определена на двух промежутках. Для построения графика и анализа функции рассмотрим каждую часть отдельно.

1. На промежутке $x \in [-5, -2]$ функция задана как $y=0$. Графиком этой части является отрезок горизонтальной прямой, лежащий на оси абсцисс (Ox). Концевые точки этого отрезка имеют координаты $(-5, 0)$ и $(-2, 0)$. Так как неравенства нестрогие ($\le$), обе точки включаются в график (на графике они изображаются закрашенными).

2. На промежутке $x \in (-2, 2]$ функция задана как $y = x + 2$. Графиком является отрезок прямой. Найдем координаты его концевых точек. При $x$, стремящемся к $-2$ справа, $y$ стремится к $-2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$ является началом этого отрезка, но не включается в него, так как неравенство строгое ($<$) (на графике она изображается выколотой). При $x = 2$, $y = 2 + 2 = 4$. Точка $(2, 4)$ является концом отрезка и включается в него, так как неравенство нестрогое ($\le$) (на графике она изображается закрашенной).

Соединяя эти две части, мы видим, что в точке $x = -2$ первая часть заканчивается закрашенной точкой $(-2, 0)$, а вторая начинается с выколотой точки $(-2, 0)$. Это значит, что график в этой точке непрерывен.

Область определения функции $D(y)$ — это все значения $x$, для которых функция определена. Она является объединением промежутков $[-5, -2]$ и $(-2, 2]$, что дает $D(y) = [-5, 2]$.

Область значений функции $E(y)$ — это все значения $y$, которые функция принимает. На первом отрезке $y$ всегда равно $0$. На втором отрезке, поскольку функция $y = x + 2$ возрастает, значения $y$ изменяются от $0$ (не включая) до $4$ (включая), то есть принадлежат промежутку $(0, 4]$. Объединяя значения с обоих участков, получаем $E(y) = \{0\} \cup (0, 4] = [0, 4]$.

Ответ: График функции состоит из отрезка прямой $y=0$ на промежутке $x \in [-5, -2]$ и отрезка прямой $y=x+2$ на промежутке $x \in (-2, 2]$. Область определения функции $D(y) = [-5, 2]$. Область значений функции $E(y) = [0, 4]$.