Номер 46.18, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.18 a) $y = \begin{cases} x + 3, \text{ если } -3 \le x \le -1; \\ x^2, \text{ если } -1 < x \le 2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x^2, \text{ если } -3 \le x \le 0; \\ 2 - 2x, \text{ если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} x + 3, & \text{если } -3 \le x \le -1; \\ x^2, & \text{если } -1 < x \le 2. \end{cases}$

Для построения графика этой функции необходимо построить график каждой из функций на заданном для нее промежутке.

Первая часть графика — это график функции $y = x + 3$ на промежутке $[-3, -1]$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой. Для построения отрезка прямой достаточно найти координаты его концов.
При $x = -3$, $y = -3 + 3 = 0$. Координаты первой точки: $(-3, 0)$.
При $x = -1$, $y = -1 + 3 = 2$. Координаты второй точки: $(-1, 2)$.
Обе точки, $(-3, 0)$ и $(-1, 2)$, включаются в график, так как неравенства нестрогие.

Вторая часть графика — это график функции $y = x^2$ на промежутке $(-1, 2]$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$.
Найдем значения функции на концах промежутка.
При $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Так как неравенство строгое ($x > -1$), точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику и изображается выколотой (пустым кружком).
При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 2$), точка $(2, 4)$ принадлежит графику и изображается закрашенной (сплошной).
Вершина параболы ($x=0, y=0$) принадлежит данному промежутку, поэтому точка $(0,0)$ является частью графика.

Соединив обе части, получаем искомый график.
Область определения функции — это объединение промежутков: $D(y) = [-3, -1] \cup (-1, 2] = [-3, 2]$.
Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает $y$. На первом отрезке $y$ изменяется от $0$ до $2$. На втором участке (парабола) $y$ изменяется от $0$ (в вершине) до $4$. Значение $y=1$ в точке $x=-1$ выколото, но оно достигается при $x=1$, которое входит в промежуток $(-1, 2]$. Таким образом, область значений — это объединение множеств $[0, 2]$ и $[0, 4]$, что дает $E(y) = [0, 4]$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность двух частей: отрезка прямой, соединяющего точки $(-3, 0)$ и $(-1, 2)$, и участка параболы $y=x^2$, идущего от выколотой точки $(-1, 1)$ через вершину в $(0, 0)$ до точки $(2, 4)$.

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} -x^2, & \text{если } -3 \le x \le 0; \\ 2 - 2x, & \text{если } 0 < x \le 3. \end{cases}$

Для построения графика этой функции необходимо построить график каждой из функций на заданном для нее промежутке.

Первая часть графика — это график функции $y = -x^2$ на промежутке $[-3, 0]$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$.
Найдем значения функции на концах промежутка.
При $x = -3$, $y = -(-3)^2 = -9$. Координаты начальной точки: $(-3, -9)$.
При $x = 0$, $y = -(0)^2 = 0$. Координаты конечной точки: $(0, 0)$.
Обе точки, $(-3, -9)$ и $(0, 0)$, включаются в график, так как неравенства нестрогие.

Вторая часть графика — это график функции $y = 2 - 2x$ на промежутке $(0, 3]$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой.
Найдем значения на концах промежутка.
При $x = 0$, $y = 2 - 2(0) = 2$. Так как неравенство строгое ($x > 0$), точка $(0, 2)$ не принадлежит графику и изображается выколотой.
При $x = 3$, $y = 2 - 2(3) = 2 - 6 = -4$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 3$), точка $(3, -4)$ принадлежит графику и изображается закрашенной.

Соединив обе части, получаем искомый график. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.
Область определения функции — это объединение промежутков: $D(y) = [-3, 0] \cup (0, 3] = [-3, 3]$.
Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает $y$. На первом участке (парабола) $y$ изменяется от $-9$ до $0$. На втором участке (отрезок) $y$ изменяется от $-4$ до $2$ (не включая $2$). Объединение множеств $[-9, 0]$ и $[-4, 2)$ дает итоговую область значений $E(y) = [-9, 2)$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность двух частей: участка параболы $y=-x^2$, идущего от точки $(-3, -9)$ до вершины в точке $(0, 0)$ (обе точки включительно), и отрезка прямой, идущего от выколотой точки $(0, 2)$ до точки $(3, -4)$ включительно. Функция имеет разрыв в точке $x=0$.