Номер 46.22, страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.22 Для функции из упражнения 46.19 а) найдите:

а) область определения;

б) множество значений функции;

в) промежутки убывания и возрастания;

г) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля.

Для решения задачи необходимо сначала определить функцию из упражнения 46.19 а). Исходя из типичного содержания учебников по алгебре для старших классов, можно предположить, что речь идет о функции $y = \log_2(x-1)$. Проведем ее полный анализ в соответствии с пунктами задания.

а) область определения;

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$.

Для нашей функции $y = \log_2(x-1)$ это условие принимает вид:

$x - 1 > 0$

Решая данное неравенство, получаем:

$x > 1$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие 1.

Ответ: $D(y) = (1; +\infty)$.

б) множество значений функции;

Множеством значений для любой основной логарифмической функции вида $y = \log_a(x)$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) является множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Функция $y = \log_2(x-1)$ получается из графика функции $y = \log_2(x)$ путем его сдвига на 1 единицу вправо по оси абсцисс. Горизонтальный сдвиг не изменяет множество значений функции.

При $x$, стремящемся к 1 справа ($x \to 1+$), аргумент $x-1$ стремится к $0+$, а значение функции $y = \log_2(x-1)$ стремится к $-\infty$.

При $x$, стремящемся к $+\infty$, аргумент $x-1$ также стремится к $+\infty$, и значение функции $y$ стремится к $+\infty$.

Следовательно, функция может принимать любое действительное значение.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) промежутки убывания и возрастания;

Монотонность логарифмической функции зависит от ее основания. В функции $y = \log_2(x-1)$ основание логарифма равно 2.

Поскольку основание $a=2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей на всей своей области определения.

Это можно также подтвердить с помощью производной. Найдем производную функции:

$y' = (\log_2(x-1))' = \left(\frac{\ln(x-1)}{\ln 2}\right)' = \frac{1}{(x-1)\ln 2}$

На всей области определения $x \in (1; +\infty)$ выполняется условие $x-1 > 0$. Так как $\ln 2$ также является положительным числом, то производная $y' > 0$ для всех $x$ из области определения.

Положительная производная означает, что функция строго возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(1; +\infty)$, промежутков убывания нет.

г) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю, больше нуля, меньше нуля.

1. Найдем, при каких значениях аргумента функция равна нулю ($y=0$):

$\log_2(x-1) = 0$

Из определения логарифма следует:

$x-1 = 2^0$

$x-1 = 1$

$x = 2$

2. Найдем, при каких значениях аргумента функция больше нуля ($y>0$):

$\log_2(x-1) > 0$

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется при потенцировании:

$x-1 > 2^0$

$x-1 > 1$

$x > 2$

3. Найдем, при каких значениях аргумента функция меньше нуля ($y<0$):

$\log_2(x-1) < 0$

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x-1 < 2^0$

$x-1 < 1$

$x < 2$

Совмещая это условие с областью определения функции ($x>1$), получаем интервал $1 < x < 2$.

Ответ: $y=0$ при $x=2$; $y>0$ при $x \in (2; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (1; 2)$.