Номер 46.17, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.17 a) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } -3 \le x \le 0; \\ x, \text{ если } 0 < x \le 4; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x, \text{ если } -4 \le x < 0; \\ -x^2, \text{ если } 0 \le x \le 2. \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. Она состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

1. На промежутке $-3 \le x \le 0$ функция задаётся формулой $y = x^2$. Графиком этой функции является часть параболы с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, 0)$. Найдём значения функции на концах промежутка:
При $x = -3$, $y = (-3)^2 = 9$. Точка $(-3, 9)$ принадлежит графику.
При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

2. На промежутке $0 < x \le 4$ функция задаётся формулой $y = x$. Графиком этой функции является часть прямой, биссектрисы первого координатного угла. Найдём значения функции на концах промежутка:
При $x$, стремящемся к 0 справа ($x \to 0+$), $y$ стремится к 0. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика (она будет "выколотой").
При $x = 4$, $y = 4$. Точка $(4, 4)$ принадлежит графику.

Совместим графики. Поскольку в точке $x=0$ первая часть графика заканчивается в точке $(0,0)$ (включительно), а вторая начинается в этой же точке (не включительно), то разрыва в этой точке нет, и функция является непрерывной.
Область определения функции $D(y)$ — это объединение промежутков $[-3, 0]$ и $(0, 4]$, то есть $D(y) = [-3, 4]$.
Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает $y$. Для первой части ($y=x^2$ на $[-3, 0]$) область значений — $[0, 9]$. Для второй части ($y=x$ на $(0, 4]$) область значений — $(0, 4]$. Объединяя эти два множества, получаем $E(y) = [0, 9] \cup (0, 4] = [0, 9]$.

Ответ: График функции состоит из части параболы $y=x^2$ на отрезке $[-3, 0]$ и части прямой $y=x$ на полуинтервале $(0, 4]$. Область определения функции $D(y) = [-3, 4]$. Область значений функции $E(y) = [0, 9]$.

Данная функция является кусочно-заданной. Она состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

1. На промежутке $-4 \le x < 0$ функция задаётся формулой $y = -x$. Графиком этой функции является часть прямой, биссектрисы второго и четвертого координатных углов. Найдём значения функции на концах промежутка:
При $x = -4$, $y = -(-4) = 4$. Точка $(-4, 4)$ принадлежит графику.
При $x$, стремящемся к 0 слева ($x \to 0-$), $y$ стремится к 0. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика (она будет "выколотой").

2. На промежутке $0 \le x \le 2$ функция задаётся формулой $y = -x^2$. Графиком этой функции является часть параболы с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 0)$. Найдём значения функции на концах промежутка:
При $x = 0$, $y = -0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.
При $x = 2$, $y = -2^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ принадлежит графику.

Совместим графики. В точке $x=0$ первая часть графика заканчивается в "выколотой" точке $(0,0)$, а вторая начинается в этой же точке (включительно). Таким образом, разрыва в точке $x=0$ нет, и функция является непрерывной.
Область определения функции $D(y)$ — это объединение промежутков $[-4, 0)$ и $[0, 2]$, то есть $D(y) = [-4, 2]$.
Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает $y$. Для первой части ($y=-x$ на $[-4, 0)$) область значений — $(0, 4]$. Для второй части ($y=-x^2$ на $[0, 2]$) область значений — $[-4, 0]$. Объединяя эти два множества, получаем $E(y) = [-4, 0] \cup (0, 4] = [-4, 4]$.

Ответ: График функции состоит из части прямой $y=-x$ на полуинтервале $[-4, 0)$ и части параболы $y=-x^2$ на отрезке $[0, 2]$. Область определения функции $D(y) = [-4, 2]$. Область значений функции $E(y) = [-4, 4]$.