Номер 46.16, страница 203, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

46.16 a) $y = \begin{cases} -1, \text{ если } -4 \le x < -1; \\ -x^2, \text{ если } -1 \le x \le 2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } -2 \le x \le 3; \\ 9, \text{ если } 3 < x \le 5. \end{cases}$

Заданная функция является кусочно-заданной. Она состоит из двух частей, определенных на разных интервалах. Проанализируем каждую часть.

1. На промежутке $-4 \le x < -1$ функция имеет вид $y = -1$. Графиком этой части является горизонтальный отрезок прямой. Левая конечная точка отрезка, при $x = -4$, имеет координаты $(-4, -1)$ и включается в график (так как неравенство $x \ge -4$ нестрогое). Правая конечная точка, при $x = -1$, имеет координаты $(-1, -1)$ и не включается в график (так как неравенство $x < -1$ строгое; на графике ее принято обозначать выколотой точкой).

2. На промежутке $-1 \le x \le 2$ функция имеет вид $y = -x^2$. Графиком этой части является участок параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Найдем значения функции на концах промежутка:

• При $x = -1$, $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$ включается в график. Эта точка совпадает с выколотой точкой из первой части, "заполняя" ее.
• При $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$ включается в график.

Вершина параболы $(0, 0)$ принадлежит данному промежутку, так как $-1 \le 0 \le 2$. В этой точке функция достигает своего максимального значения на этом участке, равного $0$. Минимальное значение на этом участке достигается в точке $x = 2$ и равно $-4$.

Свойства функции:

• Область определения: Объединяем промежутки, на которых задана функция: $D(y) = [-4, -1) \cup [-1, 2] = [-4, 2]$.
• Область значений: На первом участке значение функции постоянно и равно $-1$. На втором участке значения меняются от $-4$ до $0$. Объединяем эти значения: $E(y) = \{-1\} \cup [-4, 0] = [-4, 0]$.
• Непрерывность: В точке "стыка" $x = -1$ значение функции по второй формуле $y(-1) = -1$ совпадает с пределом слева от первой части ($\lim_{x \to -1^-} -1 = -1$), поэтому функция является непрерывной на всей области определения.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая – горизонтальный отрезок $y = -1$ на промежутке $x \in [-4, -1)$. Вторая – часть параболы $y = -x^2$ на отрезке $x \in [-1, 2]$. Область определения функции $D(y) = [-4, 2]$. Область значений функции $E(y) = [-4, 0]$.

Данная функция также является кусочно-заданной. Проанализируем ее части.

1. На отрезке $-2 \le x \le 3$ функция имеет вид $y = x^2$. Графиком этой части является участок параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Найдем значения функции на концах отрезка:

• При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ включается в график.
• При $x = 3$, $y = (3)^2 = 9$. Точка $(3, 9)$ включается в график.

Вершина параболы $(0, 0)$ принадлежит данному отрезку, так как $-2 \le 0 \le 3$. В этой точке функция достигает своего минимального значения на этом участке, равного $0$. Максимальное значение на этом участке достигается в точке $x=3$ и равно $9$.

2. На полуинтервале $3 < x \le 5$ функция имеет вид $y = 9$. Графиком этой части является горизонтальный отрезок прямой. Левая конечная точка отрезка, при $x=3$, имеет координаты $(3, 9)$ и не включается в график (неравенство строгое, выколотая точка). Правая конечная точка, при $x=5$, имеет координаты $(5, 9)$ и включается в график (неравенство нестрогое).

Свойства функции:

• Область определения: Объединяем промежутки: $D(y) = [-2, 3] \cup (3, 5] = [-2, 5]$.
• Область значений: На первом участке значения меняются от $0$ (в вершине) до $9$. Таким образом, множество значений здесь $[0, 9]$. На втором участке $y=9$. Объединяем эти значения: $E(y) = [0, 9] \cup \{9\} = [0, 9]$.
• Непрерывность: В точке "стыка" $x = 3$ значение функции по первой формуле $y(3) = 9$ совпадает с пределом справа от второй части ($\lim_{x \to 3^+} 9 = 9$). Следовательно, функция непрерывна на всей своей области определения. Выколотая точка $(3, 9)$ из второй части графика "заполняется" точкой $(3, 9)$ из первой части.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая – часть параболы $y = x^2$ на отрезке $x \in [-2, 3]$. Вторая – горизонтальный отрезок $y = 9$ на полуинтервале $x \in (3, 5]$. Область определения функции $D(y) = [-2, 5]$. Область значений функции $E(y) = [0, 9]$.